Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 22

Aufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung aus dem Beweis zu Satz 22.4, die einem Schnitt  ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$  eine Čech-Kohomologieklasse zu ${}{\mathcal {F}}$ zuordnet, unabhängig von den gewählten lokalen Repräsentanten in ${}{\mathcal {I}}$ und ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Zeige, dass ${}H^{1}(X,\mathbb {Z} )$, wobei ${}\mathbb {Z}$ hier die Garbe der lokal konstanten Funktionen in ${}\mathbb {Z}$ bezeichnet, torsionsfrei ist.

Eine Garbe von kommutativen Gruppen ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt diskret, wenn für jeden Schnitt  ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$  die Menge ${}{\left\{x\in X\mid s_{x}\neq 0\right\}}$ diskret und abgeschlossen in ${}U$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass durch

${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}:={\left\{s:U\rightarrow G\mid {\left\{x\in U\mid s(x)\neq 0\right\}}{\text{ ist diskret und abgeschlossen in }}U\right\}}\,$

eine diskrete Garbe auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Garbe der Hauptteilverteilungen eine diskrete Garbe ist. Kann man sie im Sinne von Aufgabe 22.3 beschreiben?

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Zeige, dass die Divisorengarbe eine diskrete Garbe ist. Kann man sie im Sinne von Aufgabe 22.3 beschreiben?

Ein topologischer Raum heißt normal, wenn die einzelnen Punkte abgeschlossen sind und es in ihm zu je zwei disjunkten  ${}Y,Z\subseteq X$  offene Mengen  ${}Y\subseteq U$  und  ${}Z\subseteq V$  mit  ${}U\cap V=\emptyset$  gibt.

Dies ist eine weitverbreitete Eigenschaft, insbesondere sind metrische Räume und kompakte Räume normal.

Aufgabe *

Es sei  ${}X=U\cup V$  eine offene Überdeckung eines normalen topologischen Raumes ${}X$ und sei  ${}D\subseteq U\cap V$  eine in ${}U\cap V$ abgeschlossene Teilmenge. Wir betrachten den Abschluss ${}{\overline {D}}$ von ${}D$ in ${}X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Ein Punkt  ${}P\in {\overline {D}}\setminus D$  gehört entweder zu ${}U$ oder zu ${}V$.
2. Die Menge ${}{\overline {D}}\setminus D$ besitzt eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen

   ${}{\overline {D}}\setminus D=F_{1}\cup F_{2}\,$

   mit  ${}F_{1}\subseteq U$  und  ${}F_{2}\subseteq V$. 

3. Es sei nun ${}D$ zusätzlich diskret. Dann besitzt ${}{\overline {D}}$ eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen

   ${}{\overline {D}}=E_{1}\cup E_{2}\,$

   mit  ${}E_{1}\subseteq U$  und  ${}E_{2}\subseteq V$. 

4. Im diskreten Fall besitzt ${}D$ eine Zerlegung

   ${}D=D_{1}\cup D_{2}\,$

   mit  ${}{\overline {D_{1}}}=E_{1}$  und  ${}{\overline {D_{2}}}=E_{2}$. 

Aufgabe

Zeige anhand des topologischen Raumes  ${}X=\{a,b,c\}$  mit den offenen Mengen ${}\emptyset ,X,\{a\},U=\{a,b\},V=\{a,c\}$, dass Aufgabe 22.6 ohne die Normalitätsvoraussetzung nicht gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein normaler topologischer Raum, sei  ${}X=U\cup V$  eine offene Überdeckung und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine diskrete Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Es sei  ${}h\in \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}$.  Zeige, dass es Schnitte  ${}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$  und  ${}g\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}$  mit  ${}h=f{|}_{U\cap V}-g{|}_{U\cap V}$  gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein normaler topologischer Raum und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine diskrete Garbe von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Zeige  ${}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}})=0$.