Kurs:Stochastik/Kovarianz

Einführung

Betrachtet man nun verschiedene Zufallsvariablen, so bilden nach der Betrachtung der Verteilungsparameter einzelner Zufallsgrößen nun Maße für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen $X$ und $Y$.

Definition - Kovarianz

Für Zufallsvariablen $X$ und $Y$ auf $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ mit $E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty$ definiert

$Cov(X,Y)=E{\big (}(X-E(X))\cdot (Y-E(Y)){\big )}$

die Kovarianz von $X$ und $Y$

Definition - Korrelationskoeffizienten

Für Zufallsvariablen $X$ und $Y$ auf $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ mit $E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty$ definiert

$\rho (X,Y)={\frac {Cov(X,Y)}{\sigma (X)\cdot \sigma (Y)}}\quad {\text{mit }}\rho (X,Y)\in [-1,1]$

(sofern $\sigma (X)\cdot \sigma (Y)>0$) den Korrelationskoeffizienten (nach Pearson) von $X$ und $Y$, welcher angibt, ob ein positiver/negativer linearer Zusammehang zwischen den ZV existiert.

Definition - unkorrelliert

Zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ auf $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ mit $E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty$ heißen unkorreliert, falls $Cov(X,Y)=0$.

Bemerkung - Kovarianz und Korrelationskoeffizient

Zum Studium der Größen $Cov$ und $\rho$ benötien wir den folgenden Satz.

Satz - Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung

Für die Zufallsvariablen $X,Y$ mit $E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty$ gilt:

i) $E|X\cdot Y|<\infty$

ii) Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung:

$(E(X\cdot Y))^{2}\leq E(X^{2})\cdot E(Y^{2})$

iii) Das Gleichheitszeichen in ii) gilt genau dann, wenn es Zahlen $a,b\in \mathbb {R}$ gibt mit $a^{2}+b^{2}>0$ und

$a\cdot X(w)+b\cdot Y(w)=0$ ($P$ fast überall lin. abh.).

Beweis (1 + 2)

1. Aus der Ungleichung $2|x\cdot y|\leq x^{2}+y^{2}$ folgt $E(|X\cdot Y|)<\infty$, d.i. i).

2. Sei $E(X^{2})=0$. Dann ist nach 2.2 i) $X(w)=0$ für alle $w$ mit $p_{w}>0$ und es gilt $E(X\cdot Y)=0$ und das Gleichheitszeichen in der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung. Ferner ist die Gleichung erfüllt (mit $a=1,b=0$).

Beweis (3)

3. Sei $E(X^{2})>0$. Zunächst gilt für ein beliebiges $c\in \mathbb {R}$:

(*) $0\leq E(cX-Y)^{2}=c^{2}E(X^{2})-2cE(X\cdot Y)+E(Y^{2})$

Einsetzten von $c={\frac {E(X\cdot Y)}{E(X^{2})}}$ liefert:

$0\leq {\frac {(E(X\cdot Y))^{2}}{E(X^{2})}}-2{\frac {(E(X\cdot Y))^{2}}{E(X^{2})}}+E(Y^{2})$

oder

$0\leq E(Y^{2})-{\frac {(E(X\cdot Y))^{2}}{E(X^{2})}},$ d.h. die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis (4)

Hier gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn es in (*) gilt, d. h. wenn glt:

(**) $E(cX-Y)^{2}=0$

Aus (**) folgt über ii) die Gleichung aus iii) mit $a=c,b=-1$. Umgekehrt folgt auch aus iii) die Gleichung (**).

Folgerungen (1)

1. Aus

(+) $E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty$

folgt also die Existenz des Erwartungswertes von $X\cdot Y$: $E(X\cdot Y)<\infty$.

Im Fall der Unabhängigkeit der $X,Y$ benötigen wir in 1.5 anstatt (+) nur $E|X|<\infty ,E|Y|<\infty$.

Aus (+) folgt die Existenz der Kovarianz ($Cov(X,Y)$). In der Tat, in der Formel

(++) $Cov(X,Y)=E[X\cdot Y-Y\cdot E(X)-X(E(Y)+E(X)\cdot E(Y)]$

existieren gemäß 2.2 i) und i) sämtliche Erwartungswerte.

Folgerungen (2 - 3)

2. Formel (++) vereinfacht sich zur "Verschiebungsformel":

$Cov(X,Y)=E(X\cdot Y)-E(X)\cdot E(Y)$

3. Setzt man in die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung $X-E(X),Y-E(Y)$ ein (anstatt $X,Y$), so erhält man

$(Cov(X,Y))^{2}\leq \sigma ^{2}(X)\cdot \sigma ^{2}(Y)$

d.h. es gilt $-1\leq \rho (X,Y)\leq 1$.

Folgerungen (4)

4. $|\rho (X,Y)|=1$ genau dann, wenn

$Y(w)-E(Y)=c(X(w)-E(X))$

für alle $w$ mit $p_{w}>0$.

Interpretation: $\rho (X,Y)$ ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von $X$ und $Y$.

Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (1)

Sei $E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty$ vorausgesetzt.

a) $Cov(aX+b,a'Y+b')=a\cdot a'Cov(X,Y)$

Insbesondere:

$Cov(X^{*},Y^{*})=\rho (X^{*},Y^{*})=\rho (X,Y)$

für $X^{*}=(X-E(X))/\sigma (X)$, $Y^{*}=(Y-E(Y))/\sigma (Y).$

b) $Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=Var(X)$

Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (2)

c) $Var(X_{1}+...+X_{n})=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})+\sum _{i\neq j}Cov(X_{i},X_{j})$

Insbesondere gilt für paarweise unkorrelierte (d.h. $Cov(X_{i},X_{j})=0$, für $i\neq j$) $X_{1},...,X_{n}$ die "Formel von Bienaymé":

$Var(X_{1}+...+X_{n})=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})$

d) $X,Y$ unabhängig $\Rightarrow X,Y$ unkorreliert.

Beweis

Zu c): Wegen der letzten Formel im Abschnitt "Formeln zur Varianz von X" und a) können wir annehmen, dass $E(X_{i})=0$. Dann gilt:

$Var(X_{1}+...X_{n})=E(X_{1}+...+X_{n})^{2}=E(\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum _{i\neq j}X_{i}\cdot X_{j})$

$=\sum _{i=1}^{n}E(X_{i}^{2})+\sum _{i\neq j}E(X_{i}\cdot X_{j})$

Zu d): $X,Y$ unabhängig $\Rightarrow E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)\Rightarrow Cov(X,Y)=0$ (Verschiebungsformel).

Siehe auch

• Momente
• Varianz

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