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Kurs:Stochastik/Varianz

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Varianz

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Der Erwartungswert dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung von . Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung .

Definition - Varianz, Standardabweichung

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Ist Zufallsvariable auf und ist , so heißt Varianz von , und Standardabweichung von . Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i).

i) Falls , so auch , für alle .

ii) Es gilt und genau dann, wenn und , fast überall.

Beweis

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i) Wegen gilt


Wegen gilt


ii) Die Darstellung , bzw. Formel 2 zur Varianz.

Aufgaben

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  • Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen!
  • Betrachten Sie die Cauchy-Verteilung und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert.

Formeln zur Varianz von X

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denn:
(allgemein: liefert die untere Gleichung.)
für

Bemerkung

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1. Denkt man sich als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht dem Schwerpunkt und dem Trägheitsmoment.

2. Ist eine Zufallsvariable mit , so gilt für die sogenannte Standardisierte von , d.i. , .

Beispiel

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Gleichverteilung auf . Dann ist:


Siehe auch

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Seiteninformation

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