Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem

Einführung

Eine Basis ist in der mengentheoretischen Topologie ist ein Mengensystem von offenen Mengen mit gewissen Eigenschaften. Über Basen lassen sich topologische Räume einfacher definieren und klassifizieren. Bereits in den reellen Zahlen werden Konvergenzaussagen über $\varepsilon$-Umgebungen formuliert und nicht über beliebige offene Mengen der Topologie. Die Verwendung der Basis der Topologie vereinfacht aber auch allgemein die Formulierung von Aussagen und den Beweis der Aussagen.

Gaugefunktional

In topologischen Vektorräumen oder topologischen Algebren kann man die Topologie über Gaugefunktionale und die Stetigkeit der algebraischen Operationen über das Topologisierungslemma für Algebren ausdrücken. Überträgt man den Begriff der Basis der Topologie auf das Gaugefunktionalsystem erhält man ein analoges Konstrukt der $\varepsilon$ in den reellen Zahl auf beliebige topologische Vektorräume der Algebra.

Definition: Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem

Sei $(V,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Vektorraum. Ein $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ ein Gaugefunktionalsystem auf $V$ heißt basiserzeugend für die Topologie ${\mathcal {T}}$, wenn es zu jeder Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{V})$ ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ und ein $\varepsilon >0$ mit:

$B_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{V}):=\{v\in V\,:\,\|v\|_{\alpha }<\varepsilon \}\subseteq U$

und wenn für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ und alle $\varepsilon >0$ gilt:

$B_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{V})\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{V})$

Bemerkung

Nicht jedes topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem ist basiserzeugend. Jedes basiserzeugende Gaugefunktionalsystem ist auch ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem. Ohne die zweite Bedingung, dass beliebige $\varepsilon$-Kugeln eines $\alpha$-Gaugefunktionals auch Nullumgebungen sein müssen, könnte das Gaugefunktionalsystem auch eine feinere Topologie (d.h. "mit mehr offenen Mengen") erzeugen. Daher verlangt man für beliebige $\varepsilon$-Kugeln $B_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{V})\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{V})$.

Definition: Basis der Topologie

Gegeben sei ein topologischer Raum $(X,{\mathcal {T}})$, also eine Menge $X$ und ein Mengensystem aus offenen Mengen ${\mathcal {T}}$. Für die Mengenvereinigung gelte ferner die Konvention

$\bigcup _{i\in \emptyset }B_{i}=\emptyset$

Eine Menge ${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}$ heißt eine Basis der Topologie, wenn sich jede offene Menge $U\in {\mathcal {T}}$ als Vereinigung beliebig vieler Mengen aus $B_{i}\in {\mathcal {B}}$ schreiben lässt.

Topologische Vektorräume

In topologischen Vektorräumen $(V,{\mathcal {T}})$ ist die Topologie ${\mathcal {T}}$ bereits eindeutig durch die Nullumgebungsbasis definiert. Durch die Stetigkeit der Addition erhält man durch Translation auch eine Umgebungsbasis von beliebigen Elementen $v_{o}\in V$ aus dem Vektorraum über:

$B_{\varepsilon }^{\alpha }(v_{o}):=\{v\in V\,:\,\|v-v_{o}\|_{\alpha }<\varepsilon \}\subseteq U$.

Umgebungen - offene Mengen

Eine offene Menge $U\in {\mathcal {T}}$ in einem topologischen Vektorräumen $(V,{\mathcal {T}})$ ist per Definition eine Umgebung für jeden Punkt $v_{o}\in U$. Der Definition des basiserzeugenden Gaugefunktionalsystems liefert damit auch über durch die $\varepsilon$-Kugeln $B_{\varepsilon _{v_{o}}}^{\alpha _{v_{o}}}(v_{o})$ eine Basis der Topologie, indem man die beliebige offene Menge $U\in {\mathcal {T}}$ als Vereinigung der folgenden $\varepsilon$-Kugeln darstellt:

$B_{\varepsilon _{v_{o}}}^{\alpha _{v_{o}}}(v_{o}):=\{v\in V\,:\,\|v-v_{o}\|_{\alpha _{v_{o}}}<\varepsilon _{v_{o}}\}\subseteq U$

wobei $\varepsilon _{v_{o}}>0$ und $\alpha _{v_{o}}\in {\mathcal {A}}$ in Abhängigkeit von $v_{o}\in U$ gewählt werden und es gilt:

$\displaystyle \bigcup _{v_{o}\in U}B_{\varepsilon _{v_{o}}}^{\alpha _{v_{o}}}(v_{o})$

Eigenschaften 1

Folgende Eigenschaften erfüllt die obige Vereinigung:

$v_{o}\in B_{\varepsilon _{v_{o}}}^{\alpha _{v_{o}}}(v_{o})$

$B_{\varepsilon _{v_{o}}}^{\alpha _{v_{o}}}(v_{o}):=\{v\in V\,:\,\|v-v_{o}\|_{\alpha _{v_{o}}}<\varepsilon _{v_{o}}\}\subseteq U$

$U=\displaystyle \bigcup _{v_{o}\in U}\{v_{o}\}\subseteq \displaystyle \bigcup _{v_{o}\in U}\underbrace {B_{\varepsilon _{v_{o}}}^{\alpha _{v_{o}}}(v_{o})} _{\subseteq U}\subseteq U$

Eigenschaften 2 - offene Mengen als Vereinigung darstellen

Also kann man beliebige offene Mengen $U\in {\mathcal {T}}$ der Topologie ${\mathcal {T}}$ als Vereinigung von Menge aus der Basis der Topologie darstellen in topologischen Vektorräumen $(V,{\mathcal {T}})$ mit

$U=\displaystyle \bigcup _{v_{o}\in U}B_{\varepsilon _{v_{o}}}^{\alpha _{v_{o}}}(v_{o})$

Beispiele

Für jeden beliebigen topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$ bildet die Topologie selbst eine Basis

${\mathcal {B}}_{1}={\mathcal {T}}$.

Für die triviale Topologie ${\mathcal {T}}:=\{X,\emptyset \}$ ist

${\mathcal {B}}_{2}:=\{X\}$

eine Basis. Dies folgt aus der oben angeführten Konvention über die Vereinigung über eine leere Indexmenge.

Diskrete Topologie

Für die diskrete Topologie ${\mathcal {T}}:=\wp (X)$ bilden die Punktmengen eine Basis:

${\mathcal {B}}_{3}:=\{\{x\}\mid x\in X\}$

Natürliche Topologie auf den reellen Zahlen

Die natürliche Topologie auf $\mathbb {R}$ besitzt (per Definition) die Basis

${\mathcal {B}}_{4}=\{(a,b)\subset \mathbb {R} \mid a,b\in \mathbb {R} \}$.

Metrische Räume

Ebenso besitzt die natürliche Topologie auf einem metrischen Raum $(X,d)$ (per Definition) die Basis

${\mathcal {B}}_{5}=\{B_{r}(x)\mid r>0,\;x\in X\}$.

Hierbei ist

$B_{r}(x)=\{y\in X\mid d(y,x)<r\}$

die offene Kugel um $x$ mit Radius $r$.

Eigenschaften der Basis

Die Basis eines topologischen Raumes ist nicht eindeutig bestimmt.

Diskrete Topologie - Einpunktmengen

Dies wird an der Basis für die diskrete Topologie klar: Hier sind einerseits die Punktmengen bereits ausreichend, um eine Basis zu bilden. Andererseits bildet nach dem ersten Beispiel die gesamte Topologie eine Basis, in diesem Falle die Potenzmenge. Diese ist aber fast immer deutlich größer als die Menge, die nur die Punktmengen enthält.

Eindeutigkeit der Topologie bzgl. der Basis

Im Gegensatz dazu bestimmt die Basis eine Topologie eindeutig, sprich ist ${\mathcal {B}}$ eine Basis sowohl von ${\mathcal {T}}_{1}$ als auch von ${\mathcal {T}}_{2}$, so ist ${\mathcal {T}}_{1}={\mathcal {T}}_{2}$.

Konstruktion von Topologien aus einer Basis

Die Tatsache, dass eine Basis die Topologie eindeutig bestimmt, kann zur Konstruktion von Topologien genutzt werden. Dafür erklärt man ein Mengensystem, das gewisse Voraussetzungen erfüllt, zur Basis. Genauer gilt:

Ist ${\mathcal {M}}$ ein beliebiges Mengensystem von Teilmengen von $X$, für das gilt:

• Die Vereinigung aller Mengen aus ${\mathcal {M}}$ ist gleich der Menge $X$.
• Jeder Schnitt zweier Mengen aus ${\mathcal {M}}$ lässt sich als Vereinigung einer beliebigen Anzahl von Mengen aus ${\mathcal {M}}$ schreiben.

Dann ist ${\mathcal {M}}$ Basis einer eindeutig bestimmten Topologie auf $X$.

Offene Menge als Vereinigungen aus Erzeugermengen der Basis

Die offenen Mengen in der so erzeugten Topologie sind dann genau diejenigen Mengen, die sich als Vereinigung von Mengen aus ${\mathcal {M}}$ darstellen lassen.

Siehe auch

• topologischer Vektorraum
• topologische Algebra
• Normen, Metriken, Topologie
• Topologisierungslemma für Algebren

Weblinks

• M.I. Voitsekhovskii, M.I. Kadets (2021) Basis, URL: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Basis

Literatur

• Gerhard Preuß: Allgemeine Topologie. 2., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1975, ISBN 3-540-07427-9, S. 34–41.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1, doi:10.1007/978-3-642-56860-2. 

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