Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über Gaugefunktionale. Diese Lernressource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.
Sei
eine Algebra.
ist genau dann eine topologische Algebra
, die die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie
durch ein Gaugefunktionalsystem
mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann.
Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5)
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- (A1)

- (A2)

- (A3)

- (A4)

- (A5)

Sei
eine Vektorraum.
ist genau dann eine topologischer Vektorraum
, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie
durch ein Gaugefunktionalsystem
mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann.
Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4)
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- (V1)

- (V2)

- (V3)

- (V4)

Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume
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Den topologischen Vektorräumen
fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation
. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren.
Wenn die topologische Algebra die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) nicht und man kann zwei Punkte
ebenfalls nicht durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch.
Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen,
- dass für eine topologische Algebra
ein System von Gaugefunktionalen
mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und
- umgekehrt erzeugt ein System
von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie
auf
, die
zu einer topologischen Algebra macht.
Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem
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Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der
-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form
. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis.
In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen)
Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her.
- (A1)
- Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen
- (A2)
Hausdorff-Eigenschaft der Topologie
- (A3)
Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren
- (A4)
Stetigkeit der Addition
- (A5)
Stetigkeit der Multiplikation
Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis
aus
kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die Minkowski-Funktionale
mit
dieser kreisförmigen
Nullumgebungen
. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen:
- Eine topologische Algebra
ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt
- bei gegeben topologieerzeugenden Gaugeunktionalen mit den Eigenschaften
für
wird die Algebra zu einer topologischen Algebra.
Eine topologische Algebra
ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen.
Mit der kreisförmigen Nullumgebung
definiert man das Minkowskifunktional:
.
Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des Minkowski-Funktionals, da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge
noch ein Element
"einfängt" (
. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h.
).
Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben
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Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem
gegeben, dass Eigenschaften
, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis
aus kreisförmigen Mengen.
Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben
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Man definiert die Nullumgebungsbasis
mit:

Die Menge
ist eine Nullumgebung, weil
die topologieerzeugend für
ist.
Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben
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Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das Gaugefunktionalsystem bzgl. der
-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form
ggf. erweitert wurde.
Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig
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Ferner ist die Menge
kreisförmig, weil mit
,
und
mit (A3) gilt:

Also gilt mit
auch
und
ist kreisförmig.
Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren
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Für einen beliebigen Vektor
definiert man die Umgebungbasis
wie folgt mit:

Die Menge
ist eine Umgebung von
, weil
die topologieerzeugend für
ist.
Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben
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sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem
erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf
stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist.
Eine topologische Algebra
ist gegeben und die Eigenschaft (A2) ist zu zeigen.
Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben
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Die topogische Algebra
nach Definition Hausdorff'sch. Man betrachtet
mit
. Es gibt dann ein Umgebung
und
mit
.
Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben
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Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen
existiert, gibt es ein
mit
. Da
und
gilt, folgt
und damit über die Definition des Minkowski-Funktionals
und es gibt eine
mit 
Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben
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Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem
gegeben, dass Eigenschaften
erfüllt, dann ist die Hausdorff-Eigenschaft für die erzeugte Topologie
zu zeigen.
Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen
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Seien nun
mit
beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen
mit
, um zwei Umgebungen
und
zu erzeugen, für die
gilt.
Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition
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Die Topologie der Algebra sei nun durch ein Gaugefunktionalsystem mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf
an:

Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für
ein
mit
, denn:

Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen
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Wir wenden nun die obige Kontraposition auf
an. Daher gibt es ein
mit

Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem
ein
mit

Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen
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Setzen nun mit
die Umgebungen
und
. Wegen
und
gilt insbesondere
und
. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch
zu zeigen.
Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer
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Man nimmt nun an, dass der Schnitt
nicht die leere Menge ist und damit ein
existiert, für das gilt:

Widerspruch, wegen
. Also gilt
und die Topologie der Algebra ist Hausdorff'sch.
Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft
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Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die Hausdorff-Eigenschaft der Algebra
. Ferner ist die topologische Algebra nach Voraussetzuung Hausdorff'sch. Verlangt man die Hausdorff-Eigenschaft nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2).
Eine topologische Algebra
ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen.
Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben
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In einem topologischen Vektoraum
(und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen Minkowski-Funktionale, so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also Gaugefunktionale). Denn es gilt für beliebige
,
und der Kreisförmigkeit von
:

Dies gilt wegen
Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben
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Ferner gilt für
,
und

Insgesamt erhält man für alle
und über Infimumbildung bzgl.
erhält man:
bzw.
.
Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben
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Die umgekehrte Ungleichung
erhält man mit der Kreisförmigkeit von
und
:

Also erhält man über die Infimumbildung von
auch
.
Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben
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Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit
.
Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben
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Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem
gegeben, dass Eigenschaften
erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl.
zu zeigen.
Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen
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Ist umgekehrt ein Nullfolge
und ein Netz
gegeben, das in der Topologie
gegen den Nullvektor
konvergiert, so gilt:

Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3):

Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen
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Insgesamt konvergiert
ebenfalls gegen den Nullvektor
, da für alle
eine kreisförmige Nullumgebung
existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke
, ab der alle
liegen mit
. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus
und
liegt auch in
(d.h.
mit
. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von
geben
.
Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf
gezeigt.
Eine topologische Algebra
ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen.
Die Stetigkeit der Addition liefert:

Insbesondere gilt
, weil
gilt. Also
erhält man mit
für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch
für alle
. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge
im Vergleich zu
ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende
einzufangen.
Für
und
ist
für alle
. Also sind insbesondere auch

für alle
. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit
für alle
.
Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben
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Für
und
gilt, dass
für alle
. Ferner gilt auch für alle
wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals
.
Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben
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Man erhält die gesuchte Ungleichung mit
für alle

für alle
. Also gilt auch
.
Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben
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Für
oder
erhält man die Aussage analog.
Seien nun
und
. Nach Definition der Minkowskifunktionale für die Nullumgebungen
und
, erhält man für jedes
:

Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der Minkowski-Funktionale aus den vorherigen Beweischritten verwendet.
Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben
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Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem
gegeben, dass Eigenschaften
erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl.
zu zeigen.
Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale
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Wird umgekehrt die Topologie
durch
erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt:

Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale
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Dann ist die Addition auf
stetig, denn zu jeder Nullumgebung
aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit
,
und
gilt:

Insgesamt gilt
und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung
gibt es
mit
.
Eine topologische Algebra
ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen.
Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben
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Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in
erhält man

Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben
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Sei
beliebig gewählt und
die Behauptung
, denn:

Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben
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Aus
folgt für alle
unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch:

Da
beliebig gewählt war, gilt auch
für alle
.
Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben
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Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem
gegeben, dass Eigenschaften
erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl.
zu zeigen.
Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale
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Erfüllt das topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem
die Bedingung (A5), so gilt:

Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale
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Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von
und
als offene Einheitskugeln
und
mit
offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle
das Produkt
liegt. Wegen
gilt insbesondere
und damit ist
(siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der
-Beziehung über absorbierende Mengen und Gaugefunktionale).
Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung
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In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung
eine kreiförmige Nullumgebung
aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit
, die von einem Gaugefunktional
als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem
topologieerzeugend ist. Sei nun

Man erhält also
und damit
.
Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale
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Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System
erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung
eine kreisförmige Nullumgebung
und mit (A5) ein
mit

Damit die Multiplikation auf
stetig.
Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren
die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden Gaugefunktionalsystem nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem Gaugefunktionalsystem arbeiten kann.
Basiserzeugendes Topologisierungslemma
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Sei
eine Algebra.
ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra
, wenn die Topologie
durch ein basiserzeugendes
-Gaugefunktionalsystem
mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann:
- (B1)

- (B2)

- (B3)

- (B4)

- (B5)

Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem
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Ein basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von
-Umgebungen in der Analysis. Über die
-Umgebungen in
hat man eine Basis der Standardtopologie auf
gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet.
![{\displaystyle x\in B_{\varepsilon }^{|\cdot |}(x_{0})\Longleftrightarrow |x-x_{0}|<\varepsilon \Longleftrightarrow x\in \,\,]x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142666a593d7ec96da7a611207eec169c568190a)
Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung
gibt es dann ein
mit

Sei
die Menge der stetigen Funktionen von
nach
mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum:
- (Addition)
definiert man
argumentweise
für alle 
- (Multiplikation)
definiert man
argumentweise
für alle 
Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem
mit
und
.
Zeigen Sie, dass
ein Halbnormensystem ist.
- Geben Sie ein
an, für das
gilt für
und
an.
- Geben Sie ein
an, für das
gilt für
an.
Sei
die Menge der konstanten Funktionen in
,
und
. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:
.
Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass
mit
gilt und Sie damit ein
finden können, in dem
gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen
und
mit
.
Zeigen Sie, dass die Menge
ein Ideal in topologischen Algebra
ist.
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