Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/topologische Algebra

Definition: Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$ ist ein Vektorraum, der eine Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ besitzt, mit der die Multiplikation mit Skalaren und die Addition stetige Abbildungen sind.

{\begin{array}{rcll}\mathbb {K} \times V&\longrightarrow &V\quad (\lambda ,v)\longmapsto \lambda \cdot v&{\mbox{ (skalare Multiplikation) }}\\V\times V&\longrightarrow &V\quad (v,w)\longmapsto v+w&{\mbox{ (Addition) }}\end{array}}

Im folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.

Definitionen in topologischen Räumen

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum mit einem System von offenen Mengen ${\mathcal {T}}$ und ${\textstyle a\in A}$ , dann bezeichnet

${\mathcal {U}}_{A}(a)$ die Menge aller Umgebungen vom Punkt ${\textstyle a}$ ,
${\textstyle {\stackrel {\circ }{{\mathcal {U}}_{A}}}(a)}$ die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt ${\textstyle a}$ ,
${\textstyle {\overline {{\mathcal {U}}_{A}}}(a)}$ die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen vom Punkt ${\textstyle a\in A}$ .

Bemerkung

Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index ${\textstyle A}$ in dieser Bezeichnung nicht mit angegeben.

Definition: offener Kern

Sei ${\textstyle A}$ ein topologischer Vektorraum und ${\textstyle M\subset A}$ , dann ist der offene Kern ${\textstyle {\stackrel {\circ }{M}}}$ von ${\textstyle M}$ die Vereinigung aller offenen Teilmengen von ${\textstyle M}$ .

Definition: abgeschlossene Hülle

Die abgeschlossene Hülle ${\textstyle {\overline {M}}}$ von ${\textstyle M}$ ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von ${\textstyle T}$ , die ${\textstyle M}$ enthalten.

Definition: Topologischer Rand

Der topologische Rand ${\textstyle \partial M}$ von ${\textstyle M}$ ist wie folgt definiert: ${\textstyle \partial M:={\overline {M}}\backslash {\stackrel {\circ }{M}}}$

Definition: Netze

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum und ${\textstyle I}$ eine Indexmenge (mit einer partiellen Ordnung) und $M\subset A$ eine nicht leere Teilmenge von $A$ , dann bezeichnet ${\textstyle M^{I}}$ die Menge aller mit ${\textstyle I}$ indizierten Familien in ${\textstyle M}$ werden als Netze bezeichnet:

M^{I}:=\left\{(m_{i})_{i\in I}\,:\,i\in M{\mbox{ für alle }}i\in I\right\}

Definition: Endliche Folgen in Vektorräumen

Sei ${\textstyle V}$ ein Vektorraum, dann bezeichnet ${\textstyle c_{oo}(V)}$ die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in ${\textstyle V}$ :

c_{oo}(V):=\left\{(v_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in V^{\mathbb {N} _{0}}:\exists _{\displaystyle N\in \mathbb {N} _{0}}\forall _{\displaystyle n\geq N}:v_{n}=0\right\}.

Folgenraum als Vektorräume

Sei ${\textstyle V}$ ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K} :=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ und ${\textstyle c_{oo}(V)}$ die Menge aller endlichen Folgen in ${\textstyle V}$ . Mit $x,y\in c_{oo}(V)$ , $x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$ , $y=(y_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$ und $\lambda \in \mathbb {K}$ kann man folgende Verknüfungen definieren:

$\lambda \cdot x:=\lambda \cdot (x_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}=(\lambda \cdot x_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$
$x+y:=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}+(y_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}=(x_{i}+y_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$
$x\cdot y:=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}\cdot (y_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}=(x_{i}\cdot y_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$

Aufgabe

Zeigen Sie, dass ${\textstyle c_{oo}(V)}$ mit den obigen Verknüpfungen einen Algebra ist.
Definiere die folgende Abbildung $\|x\|_{sup}:=\sup _{i\in \mathbb {N} _{0}}|x_{i}|$ auf ${\textstyle c_{oo}(V)}$ . Zeigen Sie, dass $\|\cdot \|_{sup}:=c_{oo}(V)\rightarrow \mathbb {R} _{o}^{+}$ eine Norm auf ${\textstyle c_{oo}(V)}$ ist.
Zeigen Sie, dass ${\textstyle c_{oo}(V)}$ nicht vollständig ist. Konstruieren Sie dazu eine Cauchy-Folge, die nicht konvergiert!
Zeigen Sie, dass die Multiplikation in ${\textstyle (c_{oo}(V),\|\cdot \|_{sup})}$ eine stetige Abbildung ist, indem Sie nachweisen, dass die Ungleichung $\|x\cdot y\|_{sup}\leq \|x\|_{sup}\cdot \|y\|_{sup}$ in der topologische Algebra für alle ${\textstyle x,y\in c_{oo}(V)}$ erfüllt ist.

Definition: Topologische Algebra

Eine topologische Algebra ${\textstyle A}$ über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$ ist ein topologischer Vektorraum über ${\textstyle \mathbb {K} }$ , in dem eine stetige Multiplikation : $\odot :A\times A\longrightarrow A{\mbox{ mit }}(x,y)\mapsto x\odot y$ .

Bemerkung: Multiplikation - Multiplikation mit Skalaren

In einer topologischen Algebra muss man die Multiplikation mit Skalaren

\cdot :\mathbb {K} \times A\longrightarrow A{\mbox{ mit }}(\lambda ,x)\mapsto \lambda \cdot x

von der Multiplikation $\odot$ als innere Verknüpfung unterscheiden.

\odot :A\times A\longrightarrow A{\mbox{ mit }}(x,y)\mapsto x\odot y

Im weiteren Verlauf werden diese beiden Verknüfungen nicht mehr durch unterschiedlich Multiplikationssymbole unterschieden, da in der Regel klar aus dem Kontext zu erkennen ist, welche Verknüpfung gemeint ist.

Siehe auch