Ein topologischer Vektorraum
über dem Körper
ist ein Vektorraum, der eine Topologie
besitzt, mit der die Multiplikation mit Skalaren und die Addition stetige Abbildungen sind.

Im folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.
Sei
ein topologischer Raum mit einem System von offenen Mengen
und
, dann bezeichnet
die Menge aller Umgebungen vom Punkt
,
die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt
,
die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen vom Punkt
.
Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index
in dieser Bezeichnung nicht mit angegeben.
Sei
ein topologischer Vektorraum und
, dann ist der offene Kern
von
die Vereinigung aller offenen Teilmengen von
.
Die abgeschlossene Hülle
von
ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von
, die
enthalten.
Der topologische Rand
von
ist wie folgt definiert:
Sei
ein topologischer Raum und
eine Indexmenge (mit einer partiellen Ordnung) und
eine nicht leere Teilmenge von
, dann bezeichnet
die Menge aller mit
indizierten Familien in
werden als Netze bezeichnet:

Definition: Endliche Folgen in Vektorräumen
[Bearbeiten]
Sei
ein Vektorraum, dann bezeichnet
die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in
:

Sei
ein Vektorraum über dem Körper
und
die Menge aller endlichen Folgen in
. Mit
,
,
und
kann man folgende Verknüfungen definieren:



- Zeigen Sie, dass
mit den obigen Verknüpfungen einen Algebra ist.
- Definiere die folgende Abbildung
auf
. Zeigen Sie, dass
eine Norm auf
ist.
- Zeigen Sie, dass
nicht vollständig ist. Konstruieren Sie dazu eine Cauchy-Folge, die nicht konvergiert!
- Zeigen Sie, dass die Multiplikation in
eine stetige Abbildung ist, indem Sie nachweisen, dass die Ungleichung
in der topologische Algebra für alle
erfüllt ist.
Eine topologische Algebra
über dem Körper
ist ein topologischer Vektorraum über
, in dem eine stetige Multiplikation :
.
Bemerkung: Multiplikation - Multiplikation mit Skalaren
[Bearbeiten]
In einer topologischen Algebra muss man die Multiplikation mit Skalaren

von der Multiplikation
als innere Verknüpfung unterscheiden.

Im weiteren Verlauf werden diese beiden Verknüfungen nicht mehr durch unterschiedlich Multiplikationssymbole unterschieden, da in der Regel klar aus dem Kontext zu erkennen ist, welche Verknüpfung gemeint ist.