Netze (Mathematik)

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Einführung Netze[Bearbeiten]

Für die Verallgemeinerung der Sätze braucht man ein allgemeineres Konzept der Konvergenz. Im Folgenden sollen zwei solcher Konzepte vorgestellt werden. Das erste ist das Konzept des Netzes, das man auch Moore-Smith Folge nennt.

Definition: gerichtete Menge[Bearbeiten]

Eine Menge zusammen mit einer Relation heißt gerichtet, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. es gilt für alle (Reflexivität)
  2. wenn und gilt, dann ist auch (Transitivität)
  3. zu je zwei Elementen gibt es ein Element mit und .

Bemerkung: Netz und gerichtete Menge[Bearbeiten]

Den Begriff des Netzes zusammen mit einer gerichteten Menge als Indexmenge des Netze kann man sich auch aus topologisch Netz vorstellen. In der Abbildung wird ein Knoten N1 als Bezugsknoten ausgewählt. In dem dargestellten Netz sind die grünen Verbindungen Teilbereiche des Netzes, die größer sind als N1 und über die roten Verbindungen sind Teilbereiche des Netzes gekennzeichnet, die kleiner sind als N1. Die Knoten N12 und N13 stehen in -Beziehung von N1.

Veranschaulichung: Netz[Bearbeiten]

Der rot markierte Bereich der Verbindungen im Netz markiert die Verbindung zu kleineren Element zu und die grün markierten Verbindungen zu größeren Elementen.

Gerichtete Menge und Netz

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung ist gerichtet.
  • Die reellen Zahlen mit der üblichen Ordnung sind ebenfalls gerichtet.

Definition: Netz[Bearbeiten]

Sei eine beliebige Menge. Ein Netz in ist eine Abbildung von einer gerichteten Menge in die Menge .

Bemerkung: Indexmenge[Bearbeiten]

  • Die Abbildung aus der vorstehenden Definition ist eine Vorschrift, die jedem Element einen Wert zuordnet.
  • Man kann daher die gerichtete Menge als Indexmenge auffassen und schreibt für das Netz auch .

Schreibweise[Bearbeiten]

Aus dieser Schreibweise wird auch ersichtlich, warum wir den gerichteten Mengen den Namen gegeben haben. Der Begriff Folge aus der Bezeichnung Moore-Smith Folge ist ebenfalls leichter ersichtlich.

Folgen als Netze[Bearbeiten]

Nimmt man die natürlichen Zahlen als gerichtete Menge, so ist ein Netz , oder in gewohnter Schreibweise , nichts anderes als eine Folge in .

Menge als Index[Bearbeiten]

Sei nun ein topologischer Raum, und die Menge aller Umgebungen von . Sei die Relation gegeben durch , wenn gilt. Dann ist eine gerichtete Menge. Wählt man für jede Umgebung von einen Punkt aus, so bildet die Familie ein Netz, das gegen konvergiert.

Konvergenz über Netze[Bearbeiten]

Sei eine topologischer Raum, und ein Netz in mit einer Indexmenge , die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über Netze wird wie folgt definiert:

Dabei bezeichnet "" in "" die partielle Ordnung auf der Indexmenge .

Bemerkung: konvergentes Netz[Bearbeiten]

Bei einem topologischen Raum und einem Netz muss die Definition der Konvergenz in Analogie zur Konvergenz in dafür sorgen, dass die Glieder des Netzes ab einer Indexschranke in eine -Umgebung liegen.

  • Im Allgemeinen hat man aber keinen normierten Raum vorliegen, in dem man z.B. über die Norm auch eine -Umgebung definieren kann.
  • Das Netz heißt konvergent gegen den Punkt , wenn es für jede Umgebung von ein gibt, so dass für alle mit .

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiten-Information[Bearbeiten]

Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionalanalysis mit Wiki2Reveal über den Linkgenerator erstellt.