Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 8/latex
\zwischenueberschrift{Angeordnete Körper}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für jedes $x \in K$ die Beziehung $x^2=xx \geq 0$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die folgenden Aussagen:
In einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
gelten die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \geq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \leq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x \in K$. Zeige, dass
\mathl{x > 0}{} genau dann gilt, wenn $-x < 0$ ist.
}
{(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ positiv ist.
}
{Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für das inverse Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ y
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {inversen Elemente}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}
}
{ < }{ y^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der in Aufgabe 7.8 konstruierte \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ nicht \definitionsverweis {angeordnet}{}{} werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Körperelement $n_K$ zuordnen kann, so dass $0_K$ das Nullelement in $K$ und $1_K$ das Einselement in $K$ ist und so dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (n+1)_K
}
{ =} { n_K+1_K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften
\mathdisp {(n+m)_K = n_K + m_K \text{ und } (nm)_K = n_K \cdot m_K} { }
besitzt.
Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen $\Z$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die in Aufgabe 8.9 eingeführte Abbildung \maabbeledisp {} {\Z} {K } {n} {n_K } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Betrachte die in Aufgabe ***** konstruierte injektive Zuordnung $\Z \subset K$. Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer Zuordnung $\Q \subseteq K$ fortsetzen kann, und zwar derart, dass die \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} in $\Q$ mit den Verknüpfungen in $K$ übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien $x<y$ Elemente in $K$. Zeige, dass für das
\definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{}
$\frac{x+y}{2}$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} {\frac{x+y}{2}
}
{ <} {y
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass in $K$ die \zusatzklammer {positiven} {} {} Elemente \mathkor {} {8^{1/2}} {und} {25^{1/3}} {} existieren. Welches ist größer?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Menge
\mathdisp {K={ \left\{ p+q \sqrt{5} \mid p,q \in \Q \right\} }} { , }
wobei $\sqrt{5}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.
a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass $\sqrt{5}^2=5$ ist und dass $K$ zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} wird.
b) Definiere eine \definitionsverweis {Ordnung}{}{} derart, dass $K$ zu einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} wird und dass $\sqrt{5}$ positiv wird.
c) Fasse die Elemente von $K$ als Punkte im $\Q^2$ auf. Skizziere eine Trennlinie im $\Q^2$, die die positiven von den negativen Elementen in $K$ trennt.
d) Ist das Element $23-11 \sqrt{5}$ positiv oder negativ?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die
Bernoullische Ungleichung
zum Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
bei dem eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.
\aufzaehlungdrei{Für $x \in K$ ist entweder $x \in P$ oder $-x \in P$ oder $x=0$.
}{Aus $x,y \in P$ folgt $x+y \in P$.
}{Aus $x,y \in P$ folgt $x \cdot y \in P$.
}
Zeige, dass durch die Festlegung
\mathdisp {x \geq y \text{ genau dann, wenn } x=y \text{ oder } x-y \in P} { }
ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
entsteht.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Betrag und Minimum}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die folgenden Eigenschaften für die
\definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {K} {K
} {x} { \betrag { x }
} {,}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige Elemente in $K$} {} {.}
\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{\betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ = }{ \betrag { x-y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { xy }
}
{ = }{ \betrag { x } \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x^{-1} }
}
{ = }{ \betrag { x }^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \leq }{ \betrag { x } + \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \geq }{ \betrag { x } - \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente. Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n x_i }
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { x_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {K \times K} {K } {(x,y)} { \operatorname{min} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Man untersuche die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {K } {K
} {x} { \varphi (x)
} {,} mit
\mathdisp {\varphi(x) = \begin{cases} \operatorname{min} \left( x ,\, x^{-1} \right) \text{ für } x >0 \, , \\ 0 \text{ für } x = 0 \, , \\ \operatorname{max} \left( x ,\, x^{-1} \right) \text{ für } x < 0 \, . \end{cases}} { }
Mögliche Fragestellungen bzw. Stichpunkte sind
\auflistungzweireihe {\listitemfuenf {Ist die Abbildung injektiv, surjektiv?
}{Was ist das Bild der Abbildung?
}{Wie sehen die Urbilder aus?
}{Was kann man über die Hintereinanderschaltungen $\varphi^n$ sagen?
}{Was kann man über das Verhalten der Abbildung bezüglich der Addition und der Multiplikation sagen, also zu $\varphi(x+y)$ und $\varphi(xy)$?
} } {\listitemfuenf {Gibt es einen Zusammenhang zum Betrag?
}{Maximum und Minimum der Funktion, Stetigkeit, Differenzierbarkeit.
}{Skizze.
}{Asymptotisches Verhalten.
}{Symmetrien.
} }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Archimedisch angeordnete Körper}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, dass die halboffenen Intervalle
\mathdisp {{[n,n+1[} ={ \left\{ x \in K \mid x \geq n \text{ und } x < n+1 \right\} }, \, n \in \Z} { , }
eine disjunkte Überdeckung von $K$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, dass es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine ganze Zahl $q$ und ein \mathkon { t \in K } { mit } { 0 \leq t < 1 }{ } und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} {q+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}