Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 8

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Angeordnete Körper

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes die Beziehung gilt.


Aufgabe

Beweise die folgenden Aussagen:

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. ,
  2. Aus und folgt ,
  3. Aus und folgt .


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn ist.

(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass dann ist.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.

Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für das inverse Element gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für die inversen Elemente gilt.


Aufgabe

Zeige, dass der in Aufgabe 7.8 konstruierte Körper nicht angeordnet werden kann.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Körperelement zuordnen kann, so dass das Nullelement in und das Einselement in ist und so dass

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 8.9 eingeführte Abbildung

injektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe ***** konstruierte injektive Zuordnung . Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer Zuordnung fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in mit den Verknüpfungen in übereinstimmen.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es seien Elemente in . Zeige, dass für das arithmetische Mittel die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in die (positiven) Elemente und existieren. Welches ist größer?


Aufgabe

Betrachte die Menge

wobei zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ist und dass zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass zu einem angeordneten Körper wird und dass positiv wird.

c) Fasse die Elemente von als Punkte im auf. Skizziere eine Trennlinie im , die die positiven von den negativen Elementen in trennt.

d) Ist das Element positiv oder negativ?


Aufgabe

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, bei dem eine Teilmenge ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

  1. Für ist entweder oder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Aus folgt .

Zeige, dass durch die Festlegung

ein angeordneter Körper entsteht.




Betrag und Minimum

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

in einem angeordneten Körper (dabei seien beliebige Elemente in ).

  1. .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. genau dann, wenn oder ist.
  4. .
  5. .
  6. Für ist .
  7. Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
  8. Es ist


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und seien Elemente. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Man untersuche die Abbildung

mit

Mögliche Fragestellungen bzw. Stichpunkte sind

    • Ist die Abbildung injektiv, surjektiv?
    • Was ist das Bild der Abbildung?
    • Wie sehen die Urbilder aus?
    • Was kann man über die Hintereinanderschaltungen sagen?
    • Was kann man über das Verhalten der Abbildung bezüglich der Addition und der Multiplikation sagen, also zu und ?
    • Gibt es einen Zusammenhang zum Betrag?
    • Maximum und Minimum der Funktion, Stetigkeit, Differenzierbarkeit.
    • Skizze.
    • Asymptotisches Verhalten.
    • Symmetrien.




Archimedisch angeordnete Körper

Aufgabe

Sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

eine disjunkte Überdeckung von bilden.


Aufgabe

Sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es für jedes eine ganze Zahl und ein mit und mit

gibt.