Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 8

Angeordnete Körper

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes ${}x\in K$ die Beziehung ${}x^{2}=xx\geq 0$ gilt.

Aufgabe

Beweise die folgenden Aussagen:

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1. ${}1>0$,
2. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\geq 0$ folgt ${}ac\geq bc$,
3. Aus ${}a\geq b$ und ${}c\leq 0$ folgt ${}ac\leq bc$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x\in K$. Zeige, dass ${}x>0$ genau dann gilt, wenn ${}-x<0$ ist.

(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>y$. Zeige, dass dann ${}-x<-y$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>0$. Zeige, dass auch das inverse Element ${}x^{-1}$ positiv ist.

Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x\geq 1$. Zeige, dass für das inverse Element ${}x^{-1}\leq 1$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>y>0$. Zeige, dass für die inversen Elemente ${}x^{-1}<y^{-1}$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass der in Aufgabe 7.8 konstruierte Körper ${}K$ nicht angeordnet werden kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein Körperelement ${}n_{K}$ zuordnen kann, derart, dass ${}0_{K}$ das Nullelement in ${}K$ und ${}1_{K}$ das Einselement in ${}K$ ist und dass

${}(n+1)_{K}=n_{K}+1_{K}\,$

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

$(n+m)_{K}=n_{K}+m_{K}{\text{ und }}(nm)_{K}=n_{K}\cdot m_{K}$

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 8.9 eingeführte Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto n_{K},$

injektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe ***** konstruierte injektive Zuordnung ${}\mathbb {Z} \subset K$. Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer Zuordnung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in ${}\mathbb {Q}$ mit den Verknüpfungen in ${}K$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}x<y$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass für das arithmetische Mittel ${}{\frac {x+y}{2}}$ die Beziehung

${}x<{\frac {x+y}{2}}<y\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in ${}K$ die (positiven) Elemente ${}8^{1/2}$ und ${}25^{1/3}$ existieren. Welches ist größer?

Aufgabe

Betrachte die Menge

$K={\left\{p+q{\sqrt {5}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}},$

wobei ${}{\sqrt {5}}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ${}{\sqrt {5}}^{2}=5$ ist und dass ${}K$ zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass ${}K$ zu einem angeordneten Körper wird und dass ${}{\sqrt {5}}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von ${}K$ als Punkte im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ auf. Skizziere eine Trennlinie im ${}\mathbb {Q} ^{2}$, die die positiven von den negativen Elementen in ${}K$ trennt.

d) Ist das Element ${}23-11{\sqrt {5}}$ positiv oder negativ?

Aufgabe

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten ${}n=3$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, bei dem eine Teilmenge ${}P\subseteq K$ ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

1. Für ${}x\in K$ ist entweder ${}x\in P$ oder ${}-x\in P$ oder ${}x=0$.
2. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x+y\in P$.
3. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x\cdot y\in P$.

Zeige, dass durch die Festlegung

$x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x-y\in P$

ein angeordneter Körper entsteht.

Betrag und Minimum

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

in einem angeordneten Körper (dabei seien ${}x,y$ beliebige Elemente in ${}K$).

1. Es ist ${}\vert {x}\vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.
3. Es ist ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.
4. Es ist ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$.
5. Es ist ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$.
6. Für ${}x\neq 0$ ist ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$.
7. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in K$ Elemente. Zeige, dass dann

${}\vert {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\vert \leq \sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

$K\times K\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \varphi (x),$

mit

$\varphi (x)={\begin{cases}\operatorname {min} \left(x,\,x^{-1}\right){\text{ für }}x>0\,,\\0{\text{ für }}x=0\,,\\\operatorname {max} \left(x,\,x^{-1}\right){\text{ für }}x<0\,.\end{cases}}$

Mögliche Fragestellungen bzw. Stichpunkte sind

• Ist die Abbildung injektiv, surjektiv?
• Was ist das Bild der Abbildung?
• Wie sehen die Urbilder aus?
• Was kann man über die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{n}$ sagen?
• Was kann man über das Verhalten der Abbildung bezüglich der Addition und der Multiplikation sagen, also zu ${}\varphi (x+y)$ und ${}\varphi (xy)$?
• Gibt es einen Zusammenhang zum Betrag?
• Maximum und Minimum der Funktion, Stetigkeit, Differenzierbarkeit.
• Skizze.
• Asymptotisches Verhalten.
• Symmetrien.

Archimedisch angeordnete Körper

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

${[n,n+1[}={\left\{x\in K\mid x\geq n{\text{ und }}x<n+1\right\}},\,n\in \mathbb {Z} ,$

eine disjunkte Überdeckung von ${}K$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es für jedes ${}s\in K$ eine ganze Zahl ${}q$ und ein $t\in K$ mit $0\leq t<1$ und mit

${}s=q+t\,$

gibt.