Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Arbeitsblatt 3/latex

\setcounter{section}{3}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen \mathkor {} {p} {und} {q} {} größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe die Antworten als Bruch \zusatzklammer {bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß} {} {:} Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man erläutere die Uhrzeitangaben \anfuehrung{halb fünf}{,} \anfuehrung{viertel fünf}{,} \anfuehrung{drei viertel fünf}{.} Was würde \anfuehrung{ein sechstel fünf}{} und \anfuehrung{drei siebtel fünf}{} bedeuten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, und zwar allein unter Bezug auf Rechengesetze in $\Z$, dass die durch \aufzaehlungzwei {
\mathdisp {{ \frac{ a }{ c } } \cdot { \frac{ b }{ d } } \defeq { \frac{ ab }{ cd } }} { }
} {
\mathdisp {{ \frac{ a }{ c } } + { \frac{ b }{ d } } \defeq { \frac{ ad+bc }{ cd } }} { }
} definierte Addition und Multiplikation auf den rationalen Zahlen wohldefiniert ist, und dass die Assoziativität, die Kommutativität und das Distributivgesetz gelten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere die \stichwort {binomischen Formeln} {} für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es in $\Q$ kein Element $x$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2 }
{ = }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{p}}{} \definitionsverweis {irrational}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise durch Induktion die folgende Formel.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+\sum_{i = 1}^n \frac{2^{2(i-1)} }{3^i} }
{ =} { { \left( \frac{4}{3} \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Addition von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?

Besitzen Sie eine geometrische Intuition zur Multiplikation von zwei gegebenen Zahlen auf der reellen Zahlengeraden?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ \neq} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Die folgende Aufgabe soll allein unter Bezug auf die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen gezeigt werden \zusatzklammer {also ohne Bezug auf die Anschauung der Zahlengeraden} {} {.}


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für reelle Zahlen die folgenden Eigenschaften gelten. \aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ \geq }{bc }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ \leq }{bc }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2 }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^n }
{ \geq }{b^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^n }
{ \geq }{a^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a } } }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{b }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a } } }
{ > }{ { \frac{ 1 }{ b } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \geq }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +(x+1)^2 }
{ \geq} { (x+2)^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

Vor den nächsten beiden Aufgaben erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.

Zu zwei \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} \mathkor {} {x} {und} {y} {} heißt
\mathdisp {{ \frac{ x+y }{ 2 } }} { }
das \definitionswort {arithmetische Mittel}{.}

Zu zwei nichtnegativen \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} \mathkor {} {x} {und} {y} {} heißt
\mathdisp {\sqrt{ x \cdot y}} { }
das \definitionswort {geometrische Mittel}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ < }{ y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} reelle Zahlen. Zeige, dass für das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} ${ \frac{ x+y }{ 2 } }$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ <} { { \frac{ x+y }{ 2 } } }
{ <} {y }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {dq+r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das Ergebnis einer \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q }
{ =} { \left \lfloor { \frac{ n }{ d } } \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die folgenden Eigenschaften für die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {\betrag { x } } {,}\zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige reelle Zahlen} {} {.}\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ = }{\betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{-y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x } }
{ = }{ \betrag { x-y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { xy } }
{ = }{ \betrag { x } \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x^{-1} } }
{ = }{ \betrag { x }^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y } }
{ \leq }{ \betrag { x } + \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y } }
{ \geq }{ \betrag { x } - \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {,} das ist die Aussage, dass für reelle Zahlen
\mathl{x \geq -1}{} und
\mathl{n \in \N}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1+x \right) }^n }
{ \geq} { 1+nx }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $x$ eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beweise für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch Induktion die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^n x^k }
{ =} { { \frac{ x^{n+1} -1 }{ x-1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p \neq 2,5$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form \zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {}
\mathdisp {111 \ldots 111} { }
gibt, die ein \definitionsverweis {Vielfaches}{}{} von $p$ ist.

}
{} {Tipp: Verwende Aufgabe 2.10 mit \mathlk{a=10}{} und \mathlk{p=d}{} und die vorstehende Aufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $x_1 , \ldots , x_n$ reelle Zahlen. Zeige durch \definitionsverweis {Induktion}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n x_i } }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { x_i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien drei Punkte
\mathl{P_1,P_2,P_3 \in \Q^2 \subset \R^2}{} gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es kein \definitionsverweis {nichtausgeartetes}{}{} \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} im $\R^2$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.

}
{} {}