Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Arbeitsblatt 2

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm (also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird) für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.


Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen

(Vergleiche hierzu auch Aufgabe 3.21.)

Aufgabe

Finde die kleinste Zahl der Form , die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.


Aufgabe

Sei .

a) Finde aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ), die alle nicht prim sind.

b) Finde unendlich viele solcher primfreien -„Intervalle“.


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.10 hilfreich.

Aufgabe

Es sei eine natürliche Zahl und es sei

die Darstellung von im Dezimalsystem. Zeige, dass von genau dann geteilt wird, wenn die Quersumme von geteilt wird.


Aufgabe

Finde eine Darstellung der für die folgenden Zahlenpaare: und ; und ; und .


Aufgabe

Es seien und natürliche Zahlen, deren Produkt von einer natürlichen Zahl geteilt werde. Die Zahlen und seien teilerfremd. Zeige, dass von geteilt wird.


Aufgabe

Seien und teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung der Gleichung

die Gestalt mit einer eindeutig bestimmten Zahl besitzt.


Aufgabe

Es seien und teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz mit gibt, deren Rest bei Division durch gleich ist.

Tipp: Verwende Aufgabe 1.11 und betrachte den Rest von bei Division durch .

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.

Aufgabe

Es sei diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch den Rest besitzen, also . Zeige, dass man innerhalb von auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in nicht weiter zerlegbar sind.


Aufgabe

Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.


Aufgabe

Es seien und natürliche Zahlen mit . Es sei

die Darstellung von zur Basis (also mit ). Es sei ein Teiler von . Dann wird von genau dann geteilt, wenn die Quersumme von geteilt wird.


Aufgabe

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Ist diese Zahl durch teilbar?


Aufgabe

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen und . Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position bzw. . Welche Flöhe können sich treffen?


Aufgabe

Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer Stunden, Minuten und Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?



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