Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Vorlesung 5/latex

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\setcounter{section}{5}






\zwischenueberschrift{Cauchy-Folgen}

Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} \zusatzklammer {sagen wir zur Berechnung von $\sqrt{5}$} {} {} mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in $\R$ betrachten, wo $\sqrt{5}$ existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Augustin_Louis_Cauchy.eps} }
\end{center}
\bildtext {Augustin Louis Cauchy (1789-1857)} }

\bildlizenz { Augustin Louis Cauchy.JPG } {} {Anarkman} {Commons} {PD} {}




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt \definitionswort {Cauchy-Folge}{,} wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem
\mathl{\epsilon > 0}{} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n,m \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}





\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Konvergente Folge ist Cauchyfolge/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jede \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}}
\faktfolgerung {ist eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei
\mathl{\epsilon >0}{} gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf
\mathl{\epsilon/2}{} an. Daher gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon/2 \text{ für alle } n \geq n_0} { . }
Für beliebige
\mathl{n,m \geq n_0}{} gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { x_n-x_m } }
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { x-x_m } }
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2 }
{ =} { \epsilon }
{ } {}
} {}{}{.}  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

}







\zwischenueberschrift{Die Vollständigkeit der reellen Zahlen}




\inputaxiom
{}
{

Die reellen Zahlen $\R$ sind ein \definitionsverweis {vollständiger}{}{} \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}

}

Damit haben wir alle Axiome der reellen Zahlen zusammengetragen: die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle $\R_1$ und $\R_2$ gibt, die beide für sich genommen diese Axiome erfüllen, so kann man eine bijektive Abbildung von $\R_1$ nach $\R_2$ angeben, die alle mathematischen Strukturen erhält \zusatzklammer {sowas nennt man einen \anfuehrung{Isomorphismus}{}} {} {.}

Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man, und das haben wir bisher getan und werden wir auch weiterhin tun, die Vorstellung einer \anfuehrung{kontinuierlichen lückenfreien Zahlengerade}{} zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von $\Q$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in $\Q$ mit einer geeigneten Identifizierung.






\zwischenueberschrift{Intervallschachtelungen}




\inputdefinition
{}
{

Eine Folge von \definitionsverweis {abgeschlossenen Intervallen}{}{}
\mathdisp {I_n =[a_n ,b_n], \, n \in \N} { , }
in $\R$ heißt eine \definitionswort {Intervallschachtelung}{,} wenn
\mathl{I_{n+1} \subseteq I_n}{} für alle
\mathl{n \in \N}{} ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
\mathdisp {{ \left( b_n-a_n \right) }_{ n \in \N }} { , }
gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}


\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$.}
\faktfolgerung {Dann besteht der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}}
\faktzusatz {Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 5.4. }


Wenn diese Intervalle durch
\mathl{I_n=[a_n,b_n]}{} gegeben sind, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} a_n }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} b_n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies wird in Aufgabe 5.5 bewiesen.






\zwischenueberschrift{Konvergenz der Zifferndarstellung}

Aus der Vollständigkeit ergeben sich wichtige Resultate über die Existenz von Zahlen, nämlich in dem Sinne, dass Approximationsverfahren in der Tat reelle Zahlen liefern. Als erstes kehren wir zur Zifferndarstellung zurück.





\inputfaktbeweis
{Dezimaldarstellung/Cauchy-Folge/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Eine Zifferndarstellung \zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {} definiert eine eindeutig bestimmte reelle Zahl.}
\faktzusatz {Wenn
\mathdisp {0,z_1z_2z_3 { \ldots }} { }
die Zifferndarstellung bezeichnet, so ist die Zahl der \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \sum_{i = 1}^n z_i 10^{-i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {Folge}{}{.}}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei eine unendliche Zifferndarstellung \zusatzklammer {oder Dezimalentwicklung} {} {} gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form
\mathl{0,z_1 z_2 z_3 { \ldots }}{} kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} { \sum_{i = 1}^n z_i 10^{-i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist. Aufgrund der \definitionsverweis {Vollständigkeit}{}{} von $\R$ besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz \zusatzklammer {für \mathlk{m \geq n}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_m -x_n }
{ =} { \sum_{i = 1}^m z_i 10^{-i} - \sum_{i = 1}^n z_i 10^{-i} }
{ =} { \sum_{i = n+1}^m z_i 10^{-i} }
{ =} { 10^{-n-1} { \left( \sum_{j = 0}^{m-n-1} z_{j+ n+1} 10^{-j} \right) } }
{ \leq} {10^{-n} { \left( \sum_{j = 0}^{m-n-1} 10^{-j} \right) } }
} {} {}{,} wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als $10$ sind. Nach Aufgabe 3.20 gilt für die Summe rechts die Gleichheit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{j = 0}^{m-n-1} 10^{-j} }
{ =} {\sum_{j = 0}^{m-n-1} { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^{j} }
{ =} { { \frac{ 1- { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^{ m-n} }{ 1- { \frac{ 1 }{ 10 } } } } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ { \frac{ 9 }{ 10 } } } } }
{ =} {{ \frac{ 10 }{ 9 } } }
} {} {}{.} Bei gegebenem $n$ haben wir also für jedes
\mathl{m \geq n}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_m -x_n }
{ \leq} { 10^{-n} { \frac{ 10 }{ 9 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zu einem beliebig vorgegebem
\mathl{\epsilon >0}{} finden wir zuerst ein $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 10^{-n_0} { \frac{ 10 }{ 9 } } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und für
\mathl{m \geq n \geq n_0}{} gilt dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_m -x_n }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}






\inputfaktbeweis
{Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Zu einer reellen Zahl
\mathl{x \in [0,1[}{}}
\faktfolgerung {erhält man eine Ziffernentwicklung \zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {} mit den Ziffern $z_i$ durch die rekursive Bestimmung
\mathdisp {s_0 = x,\, z_{i+1} = \lfloor s_i \cdot 10 \rfloor \text{ und } s_{i+1} = s_i \cdot 10 - z_{i+1}} { , }
die $x$ darstellt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Zu jeder reellen Zahl
\mathl{t \in [a,b[}{} in einem \definitionsverweis {halboffenen Intervall}{}{} gibt es ein eindeutiges
\mathbed {j} {}
{0 \leq j \leq 9} {}
{} {} {} {,} mit
\mathdisp {t \in [a + { \frac{ j }{ 10 } } (b-a), a + { \frac{ j+1 }{ 10 } } (b-a) [} { , }
da diese Intervalle eine \definitionsverweis {disjunkte Zerlegung}{}{} von
\mathl{[a,b[}{} bilden. Bei
\mathl{{[a,b[} = [0,1[}{} kann man das $j$ als
\mathl{j = \lfloor 10 t \rfloor}{} finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h.
\mathl{{ \frac{ z_1 }{ 10 } }}{} mit
\mathl{z_1 = \lfloor 10 s_0 \rfloor}{} ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{} an, in dem $s_0$ liegt. Die Zahl
\mathl{s_1 =10 s_0 - z_1}{} gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl $s_0$ von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass
\mathl{z_i}{} eine natürliche Zahl zwischen $0$ und $9$ ist, dass
\mathl{s_i \in [0,1[}{} ist und dass
\mathdisp {x \in [ \sum_{i = 1}^k z_i 10^{-i}, \sum_{i = 1}^k z_i 10^{-i} +10^{-k} [} { }
für jedes $k$ ist. Daher ist
\mathl{0,z_1z_2z_3 ...}{} eine Ziffernentwicklung und es liegt eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} für $x$ vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach Satz 5.6 gehörige Zahl muss nach Aufgabe 5.5 gleich $x$ sein.

}


Die im vorstehenden Satz formulierte Ziffernentwicklung nennt man auch die \stichwort {kanonische Ziffernentwicklung} {;} sie ist in eindeutiger Weise einer reellen Zahl zugeordnet. Die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0,99999999999999999999999999999999999999999999 ...} { }
ist zwar eine erlaubte Ziffernentwicklung, aber keine kanonische Ziffernentwicklung. Die zugehörige reelle Zahl ist die $1$, und deren kanonische Ziffernentwicklung ist
\mathdisp {1,0000000000000000000000000000000000000000000 ...} { . }

Die besprochene Dezimalentwicklung gemäß dem angegebenen Rekursionsschema funktioniert für eine jede reelle Zahl
\mathl{x \in [0,1[}{;} dabei kann sie auf recht unterschiedliche Art festgelegt sein \zusatzklammer {als Grenzwert einer Folge, durch eine algebraische Eigenschaft, etc.} {} {.} Für eine rationale Zahl
\mathl{x = { \frac{ a }{ b } }}{} \zusatzklammer {\mathlk{0 \leq a < b}{}} {} {} besitzt das Schema die Eigenschaft, dass
\mathl{s_i = { \frac{ r_i }{ b } }}{} selbst ein Bruch ist mit $b$ als Nenner und wobei $r_i$ der Rest bei Division von
\mathl{a 10^i}{} durch b ist. Durch Induktion nach $i$ zeigt man nämlich die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a 10^i }
{ =} { b q_i +r_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q_i }
{ =} { \sum_{j = 1}^{i} z_j 10^{i-j} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} siehe Aufgabe 5.7.





\inputfaktbeweis
{Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine reelle Zahl ist}
\faktfolgerung {genau dann eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung \zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {} besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathl{x = { \frac{ a }{ b } }}{} eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} von der wir annehmen können, dass sie in
\mathl{[0,1[}{} liegt. Es sei
\mathdisp {0,z_1z_2z_3 ...} { }
die nach Satz 5.7 zugehörige Zifferenentwicklung gemäß dem Rekursionsschema \mathkor {} {z_{i+1} = \lfloor 10 s_i \rfloor} {und} {s_{i+1} = 10 s_i -z_{i+i}} {.} Es ist einerseits
\mathl{s_i \in [0,1[}{} und andererseits sind die $s_i$ rationale Zahlen mit $b$ als Nenner. D.h. $s_i$ muss eine der $b$ Zahlen
\mathdisp {0, \, { \frac{ 1 }{ b } } ,\,{ \frac{ 2 }{ b } } ,\,{ \frac{ 3 }{ b } } , \ldots , { \frac{ b-1 }{ b } }} { }
sein. Unter den
\mathl{s_1,s_2,s_3, { \ldots }}{} muss es also irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir
\mathl{s_k = s_\ell}{} mit
\mathl{\ell > k}{.} Da die Zahlen
\mathl{z_{i+1}}{} und
\mathl{s_{i+1}}{} nur von $s_i$ abhängen, ist
\mathl{z_{\ell+1} = z_{k+1}}{,}
\mathl{z_{\ell+2} = z_{k+2}}{,} u.s.w, d.h., es liegt eine Periodizität vor.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl $x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl $\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
\mathdisp {0,z_{m-1} z_{m-2} { \ldots } z_0 z_{m-1} z_{m-2} { \ldots } z_0 z_{m-1} z_{m-2} { \ldots } z_0 { \ldots }} { }
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
\mathdisp {{ \left( \sum_{i= 0}^{m-1} z_i 10^{i} \right) } \cdot 0, 00 { \ldots } 0 0 100 { \ldots } 0 0 100 { \ldots } 0 0 100 { \ldots } 0 0 1 { \ldots }} { }
auffassen, wobei die Einsen an der $m$-ten, $2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_\ell }
{ =} { \sum_{j = 1}^\ell { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^{j m } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} deren Glieder approximierende abbrechende Ziffernentwicklungen von $x$ sind \zusatzklammer {wobei manche übersprungen werden} {} {.} Aufgrund von Aufgabe 3.20 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^\ell { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^{j m } }
{ =} { { \frac{ 1- { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^{(\ell +1) m } }{ 1- { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^{ m } } } - 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der Limes davon \zusatzklammer {für $\ell$ gegen unendlich} {} {} ist, da ja
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) } ^{(\ell +1) m }}{} gegen $0$ konvergiert, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1- { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^{ m } } } - 1 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \left( { \frac{ 99 { \cdots } 99 }{ 10^m } } \right) } } } - 1 }
{ =} { { \frac{ 10^m }{ 99 { \cdots } 99 } } -1 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 99 { \cdots } 99 } } }
{ } { }
} {}{}{,} wobei jeweils $m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.}
{}

}


Die entsprechende Aussage gilt für die Ziffernentwicklung zu jeder Basis, nicht nur im Dezimalsystem. Eine reelle Zahl mit einer periodischen Ziffernentwicklung wird so geschrieben, dass man einen Strich über die Periode macht, also beispielsweise
\mathdisp {351, 0528 \overline{82700}} { . }


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