Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 2/latex

\setcounter{section}{2}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere ein Teilerdiagramm \zusatzklammer {also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird} {} {} für die Zahlen $25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{} $n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich
\mathl{0,2,4,6}{} oder $8$ ist.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.14 hilfreich.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $a$ eine natürliche Zahl und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {\sum_{i = 0}^\ell a_i 10^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Darstellung von $a$ im Dezimalsystem. Zeige, dass $a$ von $3$ genau dann geteilt wird, wenn die \stichwort {Quersumme} {} $\sum_{i=0}^\ell a_i$ von $3$ geteilt wird.

}
{} {}

Eine Verallgemeinerung dieses Quersummentests wird in der nächsten Aufgabe besprochen.


\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a$ und $n$ natürliche Zahlen mit $n \geq 2$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {\sum_{i = 0}^\ell a_i n^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Darstellung von $a$ zur Basis $n$ \zusatzklammer {also mit $0 \leq a_i <n$} {} {.} Es sei $k$ ein Teiler von $n-1$. Dann wird $a$ von $k$ genau dann geteilt, wenn die \stichwort {Quersumme} {} $\sum_{i=0}^\ell a_i$ von $k$ geteilt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte im $15$er System mit den Ziffern $0,1 , \ldots , 8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl
\mathdisp {EA09B4CA} { . }
Ist diese Zahl durch $7$ teilbar?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $1728$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen
\mathdisp {11,\, 111,\, 1111,\, 11111,\, 111111} { . }

}
{(Vergleiche hierzu auch Aufgabe 3.20.)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die kleinste Zahl $N$ der Form
\mathl{N=p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r +1}{,} die keine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist, wobei
\mathl{p_1, p_2 , \ldots , p_r}{} die ersten $r$ Primzahlen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Finde $r$ aufeinander folgende natürliche Zahlen \zusatzklammer {also
\mathl{n, n+1 , \ldots , n+r-1}{}} {} {,} die alle nicht prim sind.

b) Finde unendlich viele solcher primfreien $r$-\anfuehrung{Intervalle}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine Darstellung der $1$  \zusatzklammer {im Sinne des Lemmas von Bezout} {} {} für die folgenden Zahlenpaare: \mathkor {} {5} {und} {7} {;} \mathkor {} {20} {und} {27} {;} \mathkor {} {23} {und} {157} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a$ und $b$ \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{,} deren Produkt $ab$ von einer natürlichen Zahl $n$ geteilt werde. Die Zahlen \mathkor {} {n} {und} {a} {} seien \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass $b$ von $n$ geteilt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $r$ und $s$ \definitionsverweis {teilerfremde Zahlen}{}{.} Zeige, dass jede Lösung
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rx+sy }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y) }
{ = }{ v(s,-r) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {a} {und} {d} {} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz $a^i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, deren Rest bei Division durch $d$ gleich $1$ ist.

}
{} {Tipp: Verwende Aufgabe 1.15 und betrachte den Rest von
\mathl{a^j-a^i}{} bei Division durch $d$. Schließe dann mit Aufgabe 2.11.}

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch $4$ den Rest $1$ besitzen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \{1,5,9,13,17, { \ldots } \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass man $441$ innerhalb von $M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in $M$ nicht weiter zerlegbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es außer
\mathl{3,5,7}{} kein weiteres Zahlentripel der Form
\mathl{p,p+2,p+4}{} gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung
\mathl{126}{} cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen
\mathl{-123, 55}{} und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw.
\mathl{109}{.} Welche Flöhe können sich treffen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine digitale Uhr, die $24$ Stunden, $60$ Minuten und $60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer $11$ Stunden, $11$ Minuten und $11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

}
{} {}

Die nächste Aufgabe bezieht sich auf Bemerkung 2.10.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es eine gerade Zahl
\mathbed {g} {}
{2 \leq g \leq 252} {}
{} {} {} {,} mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen $p$ derart gibt, dass auch
\mathl{p+g}{} eine Primzahl ist.

}
{} {}