Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine monoton wachsende reelle Folge, die nach oben beschränkt ist. Es gelte also
\mathl{x_m \leq x_n}{} für
\mathl{m \leq n}{} und
\mathl{x_n \leq b}{} für alle $n$ und eine gewisse reelle Zahl $b$. Zeige, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung
bestimmte Zahl
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die rekursiv definierte
\definitionsverweis {Folge}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \defeq} { \frac{ x_n + a/x_n }{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen $\sqrt{a}$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $x$ eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{,}
von welcher der Beginn der
\definitionsverweis {kanonischen Dezimalbruchentwicklung}{}{}
gleich
\mathdisp {0{,}3333333333\dotso} { }
\zusatzklammer {die weiteren Ziffern sind nicht bekannt} {} {.}
Was kann man über die Dezimal\-bruchentwicklung von $3x$ sagen? In welchem
\zusatzklammer {möglichst kleinen} {} {}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
liegt $3x$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {dq+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Ergebnis einer
\definitionsverweis {Division mit Rest}{}{}
innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ =} { \left \lfloor { \frac{ n }{ d } } \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die Gaußklammer von
\mathl{ - { \frac{ 133 }{ 3 } } }{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{x,y}{} reelle Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Dezimalentwicklung von
\mathl{{ \frac{ 5 }{ 7 } }}{} anhand des in
Satz 5.8
besprochenen Rekursionsschemas.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige durch Induktion nach $k$, dass für eine reelle Zahl
\mathl{x \in [0,1[}{} und die durch das Rekursionsschema aus
Satz 5.8
definierten Zahlen $z_i$ und $s_i$ die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k z_i 10^{-i} + s_k 10^{-k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für eine rationale Zahl
\mathl{x = { \frac{ a }{ b } } \in [0,1[}{} das Rekursionsschema aus
Satz 5.8
die Eigenschaft besitzt, dass
\mathl{s_i = { \frac{ r_i }{ b } }}{} ein Bruch mit $b$ als Nenner ist und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a 10^i
}
{ =} { b q_i +r_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{i} z_j 10^{i-j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,11 \overline{05}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch
\mathl{0{,}\overline{3}}{} gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch
\mathl{0{,}\overline{17}}{} gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
seien durch ihre
\definitionsverweis {Dezimalbruchentwicklung}{}{}
\mathdisp {x=0,z_1z_2z_3 \ldots} { }
und
\mathdisp {y=0,u_1u_2u_3 \ldots} { }
gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen $xy$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ die Folge der
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ f_n }{ f_{n-1} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und dass der Grenzwert $x$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {1 + x^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Berechne daraus $x$.
}
{} {Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
durch
\mathl{x_0=a}{,}
\mathl{y_0=b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }
\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
ist.
}
{} {}
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