Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 5
- Übungsaufgaben
Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.
Es sei eine monoton wachsende reelle Folge, die nach oben beschränkt ist. Es gelte also für und für alle und eine gewisse reelle Zahl . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.
Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt
aus genau einem Punkt besteht.
Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.
Es sei eine nichtnegative reelle Zahl und . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit
gegen konvergiert.
Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich
(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?
Berechne die Gaußklammer von .
Es seien reelle Zahlen. Zeige, dass
genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.
Zeige durch Induktion nach , dass für eine reelle Zahl und die durch das Rekursionsschema aus Satz 5.8 definierten Zahlen und die Gleichheiten
gelten.
Zeige, dass für eine rationale Zahl das Rekursionsschema aus Satz 5.8 die Eigenschaft besitzt, dass ein Bruch mit als Nenner ist und dass die Beziehung
mit
gilt.
Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.
Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.
Die beiden reellen Zahlen und seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung
und
gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen konvergiert.
Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und
Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung
erfüllt. Berechne daraus .
Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.
Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch
Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.
<< | Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014) | >> |
---|