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Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 5

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Übungsaufgaben

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.


Es sei eine monoton wachsende reelle Folge, die nach oben beschränkt ist. Es gelte also für und für alle und eine gewisse reelle Zahl . Zeige, dass eine Cauchy-Folge ist.


Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.


Es sei eine nichtnegative reelle Zahl und . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

gegen konvergiert.


Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich

(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?


Es sei

das Ergebnis einer Division mit Rest innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass

ist.


Berechne die Gaußklammer von .


Es seien reelle Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Bestimme die Dezimalentwicklung von anhand des in Satz 5.8 besprochenen Rekursionsschemas.


Zeige durch Induktion nach , dass für eine reelle Zahl und die durch das Rekursionsschema aus Satz 5.8 definierten Zahlen und die Gleichheiten

gelten.


Zeige, dass für eine rationale Zahl das Rekursionsschema aus Satz 5.8 die Eigenschaft besitzt, dass ein Bruch mit als Nenner ist und dass die Beziehung

mit

gilt.


Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.


Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch gegeben ist.


Die beiden reellen Zahlen und seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung

und

gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen konvergiert.


Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch

Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.



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