Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 5/latex

\setcounter{section}{5}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine monoton wachsende reelle Folge, die nach oben beschränkt ist. Es gelte also
\mathl{x_m \leq x_n}{} für
\mathl{m \leq n}{} und
\mathl{x_n \leq b}{} für alle $n$ und eine gewisse reelle Zahl $b$. Zeige, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{.} Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n} - x_{n-1} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $n \in \N_+$. Folgt daraus, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{a }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gebe ein $N$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n+1} - x_n } }
{ \leq} { a^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelte für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \in }{ I_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_n }
{ = }{[a_n,b_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} für $x$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_n }
{ = }{[c_n,d_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Intervallschachtelung für $y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für
\mathl{x+y}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ die Folge der \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} { { \frac{ f_n }{ f_{n-1} } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Folge in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und dass der Grenzwert $x$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {1 + x^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt. Berechne daraus $x$.

}
{} {Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} durch
\mathl{x_0= a}{,}
\mathl{y_0= b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }

\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine nichtnegative \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die rekursiv definierte \definitionsverweis {Folge}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ \defeq} { \frac{ x_n + a/x_n }{2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegen $\sqrt{a}$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne die Gaußklammer von
\mathl{ - { \frac{ 133 }{ 3 } } }{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{}
\mathdisp {\left \lfloor { \frac{ 513 }{ 21 } } \right \rfloor} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{x,y}{} reelle Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor }
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $z$ eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.} Zeige, dass $z$ genau dann \definitionsverweis {ganzzahlig}{}{} ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor -z \right \rfloor }
{ =} { - \left \lfloor z \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {dq+r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das Ergebnis einer \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q }
{ =} { \left \lfloor { \frac{ n }{ d } } \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne
\mathdisp {3,601473301 ...} { . }
Beschreibe die zugehörige \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} mit Intervallen der Länge
\mathl{10,1, { \frac{ 1 }{ 10 } }, { \frac{ 1 }{ 100 } }, { \frac{ 1 }{ 1000 } }, { \frac{ 1 }{ 10000 } }, { \frac{ 1 }{ 100000 } }}{} und entsprechenden Grenzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Dezimalentwicklung von
\mathl{{ \frac{ 5 }{ 7 } }}{} anhand des in Satz 5.8 besprochenen Rekursionsschemas.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige durch Induktion nach $k$, dass für eine reelle Zahl
\mathl{x \in [0,1[}{} und die durch das Rekursionsschema aus Satz 5.8 definierten Zahlen $z_i$ und $s_i$ die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ =} { \sum_{i = 1}^k z_i 10^{-i} + s_k 10^{-k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für eine rationale Zahl
\mathl{x = { \frac{ a }{ b } } \in [0,1[}{} das Rekursionsschema aus Satz 5.8 die Eigenschaft besitzt, dass
\mathl{s_i = { \frac{ r_i }{ b } }}{} ein Bruch mit $b$ als Nenner ist und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a 10^i }
{ =} { b q_i +r_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q_i }
{ =} { \sum_{j = 1}^{i} z_j 10^{i-j} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} seien durch ihre \definitionsverweis {Dezimalbruchentwicklung}{}{}
\mathdisp {x=0,z_1z_2z_3 \ldots} { }
und
\mathdisp {y=0,u_1u_2u_3 \ldots} { }
gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen $xy$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $x$ eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{,} von welcher der Beginn der \definitionsverweis {kanonischen Dezimalbruchentwicklung}{}{} gleich
\mathdisp {0{,}3333333333\dotso} { }
\zusatzklammer {die weiteren Ziffern sind nicht bekannt} {} {.} Was kann man über die Dezimal\-bruchentwicklung von $3x$ sagen? In welchem \zusatzklammer {möglichst kleinen} {} {} \definitionsverweis {Intervall}{}{} liegt $3x$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe die schriftlichen Divisionen
\mathdisp {1:7,\, 2:7,\, 3:7,\, 4:7,\, 5:7,\, 6:7} { }
durch. Was fällt bei der Ziffernentwicklung auf? Wie kann man das erklären?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne $1$ durch $41$ mit dem \definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{999 \ldots 999 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} diejenige Zahl im Zehnersystem, die aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Neunen bestehe. Bestimme das Ergebnis der schriftlichen Division
\mathl{1:z}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Führe die schriftliche Division
\mathdisp {53,4 : 0,07} { }
durch.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0{,}7 \overline{41}} { }
gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,11 \overline{05}} { }
gegeben ist.

}
{} {}