Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 20

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Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige endliche Körper.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine echte Primzahlpotenz und der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in jedes Element aus ein Quadrat ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung


Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung . Es sei ein Primfaktor von und es sei vorausgesetzt, dass weder noch ein Quadratrest modulo ist. Dann ist irreduzibel in , aber nicht prim.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei . Bestimme die Primideale in , die über liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Bestimme die Primideale in , die über liegen (man gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?


Aufgabe (2 Punkte)

Finde ein quadratfreies derart, dass die natürliche Inklusion

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale und in gibt, die beide über dem gleichen Primideal liegen. Was ist ?


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche mit negativem sämtliche Einheiten.


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass in das Element eine Einheit ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass im Ring irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in aus?