Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Einige Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$.

Lösung:

Der Euklidische Algorithmus liefert:

$71894=1\cdot 45327+26567$

$45327=1\cdot 26567+18760$

$26567=1\cdot 18760+7807$

$18760=2\cdot 7807+3146$

$7807=2\cdot 3146+1515$

$3146=2\cdot 1515+116$

$1515=13\cdot 116+7$

$116=16\cdot 7+4$

$7=1\cdot 4+3$

$4=1\cdot 3+1.$

Die Zahlen ${}71894$ und ${}45327$ sind also teilerfremd.

 

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}5+2{\mathrm {i} }$ und ${}3+7{\mathrm {i} }$.

Lösung:

Wir setzen  ${}a=5+2{\mathrm {i} }$  und  ${}b=3+7{\mathrm {i} }$  und führen die Division mit Rest ${}a$ durch ${}b$ durch. Es ist (in ${}{\mathbb {C} }$)

${}{\frac {a}{b}}={\frac {5+2{\mathrm {i} }}{3+7{\mathrm {i} }}}={\frac {(5+2{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}{(3+7{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}}={\frac {29-29{\mathrm {i} }}{58}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\,.$

Für diese Zahl ist ${}0$ eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also  ${}q=0$  und erhalten  ${}a=0b+a$.  Wir drehen also die Sache um und erhalten

${}{\frac {b}{a}}={\frac {3+7{\mathrm {i} }}{5+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(3+7{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}{(5+2{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}}={\frac {29+29{\mathrm {i} }}{29}}=1+{\mathrm {i} }\,.$

Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und ${}a$ teilt daher ${}b$. Also ist  ${}a=5+2{\mathrm {i} }$  der größte gemeinsame Teiler.

 

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von ${}8-{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.

Lösung:

Wir haben

${}N(8-{\mathrm {i} })=(8-{\mathrm {i} })(8+{\mathrm {i} })=65=5\cdot 13\,.$

Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest ${}1$ modulo ${}4$ und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist  ${}5=(2+{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })$  und  ${}13=(3+2{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })$,  und diese Faktoren sind prim nach Satz 9.1. Die Primfaktorzerlegung von ${}8-{\mathrm {i} }$ muss also (bis auf eine Einheit) aus einem Primfaktor von ${}5$ und einem Primfaktor von ${}13$ bestehen.

Die eine Möglichkeit ist

${}(2+{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })=4+7{\mathrm {i} }\,,$

die aber nicht zu ${}8-{\mathrm {i} }$ assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist

${}(2+{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })=8-{\mathrm {i} }\,,$

die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.

 

Aufgabe

Berechne mit Hilfe des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {53}{311}}\right).$

Lösung:

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

${}{\begin{aligned}\left({\frac {53}{311}}\right)&=\left({\frac {311}{53}}\right)\\&=\left({\frac {46}{53}}\right)\\&=\left({\frac {2}{53}}\right)\left({\frac {23}{53}}\right)\\&=-\left({\frac {23}{53}}\right)\\&=-\left({\frac {53}{23}}\right)\\&=-\left({\frac {7}{23}}\right)\\&=\left({\frac {23}{7}}\right)\\&=\left({\frac {2}{7}}\right)\\&=1.\end{aligned}}$

Also ist ${}53$ ein Quadratrest modulo ${}311$.

 

Aufgabe

Berechne mit Hilfe des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {2333}{3673}}\right).$

Lösung:

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left({\frac {2333}{3673}}\right)$	=	$\left({\frac {3673}{2333}}\right)$$2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
	=	$\left({\frac {1340}{2333}}\right)$Reduktion des Zählers.
	=	$\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {335}{2333}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
	=	$\left({\frac {2333}{335}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$.
	=	$\left({\frac {323}{335}}\right)$Reduktion des Zählers.
	=	$-\left({\frac {335}{323}}\right)$$323$ und $335$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$.
	=	$-\left({\frac {12}{323}}\right)$Reduktion des Zählers.
	=	$-\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {3}{323}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
	=	$\left({\frac {323}{3}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $323$ und $3$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$.
	=	$\left({\frac {2}{3}}\right)$Reduktion des Zählers.
	=	$-1$$3=3\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $3$.

Also ist $2333$ kein Quadratrest modulo $3673$.

 

Aufgabe

Es sei  ${}A_{-10}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-10}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-10$.  Berechne den Hauptdivisor zu

${}q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}\,.$

Lösung:

Sei $R=A_{-10}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$. Wir bringen $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}$ auf einen Hauptnenner, also

$q={\frac {10-3{\sqrt {-10}}}{15}}$ .

Der Nenner ist $15=3\cdot 5$. Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:

Modulo $3$.

$R/(3)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$.

Das Polynom $X^{2}+1$ hat keine Nullstelle über $\mathbb {Z} /(3)$, also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist $(3)$ ein Primideal in $R$.

Modulo $5$.

$R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2})$.

Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(5,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(5)={\mathfrak {p}}^{2}$ in $R$.

Für den Zähler betrachten wir die Norm, also

$(10-3{\sqrt {-10}})(10+3{\sqrt {-10}})=100-9(-10)=190=2\cdot 5\cdot 19$ .

Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.

Modulo $2$.

$R/(2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2})$.

Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {q}}=(2,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(2)={\mathfrak {q}}^{2}$ in $R$.

Modulo $19$.

$R/(19)=\mathbb {Z} /(19)[X]/(X^{2}+10)$.

Das Polynom $X^{2}+10$ ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen $3$ und $-3$, und die Zerlegung $X^{2}+10=(X+3)(X-3)$. Damit gibt es die beiden Primideale $(X-3)$ und $(X+3)$, die den beiden konjugierten Primidealen ${\mathfrak {m}}=(19,-3+{\sqrt {-10}})$ und ${\overline {\mathfrak {m}}}=(19,3+{\sqrt {-10}})$ entsprechen.

Damit ist

$(190)={\mathfrak {q}}^{2}{\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$ .

Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In ${\mathfrak {m}}$ kann man $19+3(-3+{\sqrt {-10}})=10+3{\sqrt {-10}}$ schreiben, sodass $10-3{\sqrt {-10}}$ zu ${\overline {\mathfrak {m}}}$ gehört, und man erhält

$(10-3{\sqrt {-10}})={\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {m}}}$.

Damit ist der Hauptdivisor gleich

$\operatorname {div} (q)={\mathfrak {q}}+{\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-2{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-{\mathfrak {p}}$ .