Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 2/latex

\setcounter{section}{2}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{x,y \in R}{} Elemente in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Rx }
{ \subseteq} {Ry }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} äquivalent. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {$x$ teilt $y$. }{$x$ wird von $y$ geteilt. }{$y$ wird von $x$ geteilt. }{$x$ ist ein Vielfaches von $y$. }{$x$ ist ein Vielfaches von $x$. } } {\itemfuenf {$y$ teilt $x$. }{$Rx \cap Ry = Rx$. }{Jedes Vielfache von $y$ ist auch ein Vielfaches von $x$. }{Jeder Teiler von $y$ ist auch ein Teiler von $x$. }{Ein Maikäfer ist ein Schmetterling. } }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $R$ ist.

b) Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen.

c) Man gebe eine Beispiel für einen kommutativen Ring $R$ und eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die kein Ideal ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \leq }{ r }
{ < }{ d }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n }
{ =} { dq+r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\Z[X]$ und der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen
\mathl{K[X,Y]}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ keine \definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {C(\R,\R) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { { \left\{ f \in R \mid f(x) = 0 \text{ für alle } x \in T \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das Ideal zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ = }{ \{0\} }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Sinne von Aufgabe 2.7. Ist dies ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{a_1, a_2 , \ldots , a_n, b,f \in R}{} Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.

1) Wenn $b$ ein \definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{} der
\mathl{a_1, a_2 , \ldots , a_n}{} ist, so ist auch $fb$ ein größter gemeinsamer Teiler der
\mathl{fa_1, fa_2 , \ldots , fa_n}{.}

2) Wenn $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b \in R}{} zwei \definitionsverweis {irreduzible}{}{,} nicht \definitionsverweis {assoziierte}{}{} Elemente in einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass $p$ genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist, wenn es genau zwei \definitionsverweis {Hauptideale}{}{} oberhalb von
\mathl{(p)}{} gibt, nämlich
\mathl{(p)}{} selbst und
\mathl{(1)= R}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $r$ und $s$ \definitionsverweis {teilerfremde Zahlen}{}{.} Zeige, dass jede Lösung
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ rx+sy }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y) }
{ = }{ v(s,-r) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten Zahl $v$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass die in Aufgabe 2.12 bewiesene Aussage ohne die Voraussetzung teilerfremd nicht stimmt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $\Z $ genau die Teilmengen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z d }
{ =} { { \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.

}
{} {}

Der Begriff des größten gemeinsamen Teilers wird innerhalb der ganzen Zahlen häufig wie folgt definiert.

Es seien
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{} \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.} Eine natürliche Zahl $g$ heißt \definitionswort {größter gemeinsamer Teiler}{} der
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{,} wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn $g$ unter allen gemeinsamen Teilern der
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{} der \zusatzklammer {bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen} {} {} Größte ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative \definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{} der $a_i$  \zusatzklammer {im Sinne der allgemeinen Ringdefinition} {} {} mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation $\geq$ der größte gemeinsame Teiler ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in $\Z[{ \mathrm i}]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{5+2{ \mathrm i}}{} und
\mathl{3+7{ \mathrm i}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{} mit euklidischer Funktion $\delta$. Zeige, dass ein Element
\mathl{f \in R}{} (
\mathl{f \neq 0}{}) mit
\mathl{\delta(f)=0}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und seien $n$ \zusatzklammer {verschiedene} {} {} natürliche Zahlen gegeben. Zeige, dass es eine nichtleere Teilmenge dieser Zahlen derart gibt, dass die zugehörige Summe ein Vielfaches von $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung $78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung
\mathl{126}{} cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen
\mathl{-123, 55}{} und $-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position $17$ bzw.
\mathl{109}{.} Welche Flöhe können sich treffen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Beweise folgende Aussagen für einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. \aufzaehlungdrei{Das Element $a$ ist ein Teiler von $b$ \zusatzklammer {also
\mathl{a {{|}} b}{}} {} {} genau dann, wenn
\mathl{(b) \subseteq (a)}{.} }{$a$ ist eine Einheit genau dann, wenn
\mathl{(a)=R=(1)}{.} }{Ist $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} so gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a) }
{ = }{ (b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn $a$ und $b$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass im Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{-2}] }
{ = }{ \Z \oplus \Z \sqrt{2} { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Norm}{}{} eine \definitionsverweis {euklidische Funktion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein \definitionsverweis {Primelement}{}{}
\mathl{p \in R}{} mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element
\mathl{f \in R}{,}
\mathl{f\neq 0}{,} eindeutig als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{up^{i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} darstellen lässt mit einer Einheit $u$ und
\mathl{i \in \N}{.}

(2) $R$ ist ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{} mit einer surjektiven euklidischen Funktion
\mathl{\delta: R \setminus \{0 \} \rightarrow \N}{,} die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

a) Es gilt
\mathl{\delta(fg) = \delta(f) + \delta(g)}{} für alle
\mathl{f,g \in R \setminus \{0 \}}{.}

b) Es gilt
\mathl{f {{|}} g}{} genau dann, wenn
\mathl{\delta(f) \leq \delta(g)}{} für alle
\mathl{f,g \in R \setminus \{0 \}}{.} Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?

}
{} {}