Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 3

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1983$ und ${}1528$.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}3711$ und ${}4115$.

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$.

Aufgabe *

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}3146$ und ${}1515$ und man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}3146$ und ${}1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?

Aufgabe

Die Beschreibungsseite des folgenden Bildes behauptet, etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun zu haben. Erläutere dies. Welche Eigenschaften des euklidischen Algorithmus sind in dem Bild sichtbar? Beweise diese Eigenschaften des Algorithmus.

Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über ${}77$-, ${}91$- und ${}143$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

Aufgabe

Bestimme in ${}{\mathbb {C} }[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}X^{3}+(2-{\mathrm {i} })X^{2}+4$ und ${}(3-{\mathrm {i} })X^{2}+5X-3$.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}2X^{4}-7X^{2}+{\frac {5}{2}}X+3$ und ${}X^{3}+1$.

Aufgabe

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{7}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{3}+6X^{2}+4$ und ${}Q=X^{2}+3X+2$.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z} /(11)[X]$ den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome

$X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+3\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,X^{2}+7X+10.$

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}23+2{\mathrm {i} }$ und ${}1+23{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X,Y]$ nicht das Lemma von Bezout gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich ${}R$ zu beliebigen Elementen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ sowohl ein größter gemeinsame Teiler als auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existieren. Wie kann man sie berechnen, wenn die Primfaktorzerlegungen der Elemente bekannt sind?

Für ${}\mathbb {Z}$ lässt sich die Existenz einer Zerlegung in Primzahlen, also in irreduzible Elemente, einfach direkt zeigen.

Aufgabe *

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}+1$.

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Aufgabe *

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen. Bestimme die Primfaktorzerlegung des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.

Aufgabe *

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass

${}{\binom {p}{k}}\equiv 0\mod p\,$

für alle ${}k=1,\ldots ,p-1$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass

${}a^{b}=b^{a}\,$

genau dann gilt, wenn

${}a=b\,$

ist oder wenn ${}a=2$ und ${}b=4$ ist (oder umgekehrt).

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}-1$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}35+18{\mathrm {i} }$ und ${}8+11{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{5}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{4}+3X^{3}+X^{2}+4X+2$ und ${}Q=2X^{3}+4X^{2}+X+3$.

In der folgenden Aufgabe wird der Logarithmus verwendet.

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Betrachte die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\ln p$, wobei ${}p$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Bleibt das Ergebnis gültig, wenn man den natürlichen Logarithmus ${}\ln$ durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt?

Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es sei ${}r\in \mathbb {N}$.

a) Finde ${}r$ aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ${}n,n+1,\ldots ,n+r-1$), die alle nicht prim sind.

b) Finde unendlich viele solcher primfreien ${}r$-„Intervalle“.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeiche ${}T(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von ${}n$. Zeige die folgenden Aussagen über ${}T(n)$.

a) Es sei ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$. Dann ist

${}T(n)=(r_{1}+1)(r_{2}+1)\cdots (r_{k}+1)\,.$

b) Für teilerfremde Zahlen ${}n$ und ${}m$ gilt ${}T(nm)=T(n)T(m)$.

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von ${}20!$.