Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 22/latex

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\setcounter{section}{22}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein Integritätsbereich und
\mathl{S \subseteq R}{} ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$ ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} bildet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{R \subseteq S}{} eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei
\mathl{F \subseteq R}{} ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung
\mathl{R_F \subseteq S_F}{} ganz ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $D \neq 0,1$ eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{,} sei
\mathl{R=\Z[\sqrt{D}]}{} und sei $A_D$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme von $2$ ein \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { R_2 } { (A_D)_2 } {} vorliegt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $\Z_n$ die Nenneraufnahme zu $n$ \zusatzklammer {$\Z_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann} {} {.} Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq} { R }
{ \subseteq} { \Z_n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und seien
\mathl{f,g \in \Z}{} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} Zahlen. Zeige, dass für den \zusatzklammer {im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen} {} {} Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f \cap R_g }
{ =} {R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{T \subseteq {\mathbb P}}{} eine Teilmenge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {R_T = { \left\{ q \in \Q \mid q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $\Q$ ist. Was ergibt sich bei $T= \emptyset$,
\mathl{T= \{3 \}}{,}
\mathl{T= \{2,5 \}}{,}
\mathl{T= {\mathbb P}}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \notin }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} zu $S$, also $R_S$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_S }
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \in S \right\} } }
{ \subseteq} { Q(R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Unterring von
\mathl{Q(R)}{} ist. } {Zeige, dass nicht jeder Unterring von $Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{S \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Man definiert die
\definitionswortenp{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {R_S} { }
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst $M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in $S$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {{ \left\{ \frac{r}{s} \mid r \in R , \, s \in S \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass durch
\mathdisp {\frac{r}{s} \sim \frac{r'}{s'} \text{ genau dann, wenn es ein } t \in S \text{ mit } trs' =tr's \text{ gibt}} { , }
eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit $R_S$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf $R_S$ eine Ringstruktur und definiere einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathl{R \rightarrow R_S}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{e \in R}{} ein \definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_e }
{ \cong} { R/(1-e) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{f \in R}{} ein Element und $R_f$ die zugehörige \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist, wenn $R_f$ der Nullring ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathl{S \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Definiere die \anfuehrung{Nenneraufnahme}{}
\mathdisp {M_S} { }
und zeige, dass sie ein $R_S$-Modul ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} ist, wenn
\mathl{a+b}{} nur dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{Für jedes Primideal ${\mathfrak p}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak p}$ normal. }{Für jedes maximale Ideal ${\mathfrak m}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ normal.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{K=Q(R)}{.} Es sei
\mathl{R = \bigcap_{i \in I} R_i}{,} wobei die
\mathl{R_i \subset K}{,}
\mathl{i \in I}{,} alle \definitionsverweis {diskrete Bewertungsringe}{}{} seien. Zeige: $R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0) } {} ein surjektiver \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} mit $\nu(f+g) \geq \min\{ \nu(f) , \nu(g)\}$ für alle $f,g \in K^\times$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit Quotientenkörper $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mathdisp {\operatorname{ord}(q) \in \Z} { . }
Dabei soll die Definition mit der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus \maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z } {} definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein Körper und $K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Finde einen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mathl{R \subset K(T)}{} mit
\mathl{Q(R)=K(T)}{} und mit
\mathl{R\cap K[T]= K}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit Quotientenkörper $Q$. Charakterisiere die endlich erzeugten $R$-Untermoduln von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $R$ und $A$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{S \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {A } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} derart, dass $\varphi(s)$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $A$ ist für alle
\mathl{s \in S}{.} Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R_S} {A } {,} der $\varphi$ fortsetzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Seien $n$ und $k$ teilerfremde Zahlen und sei
\mathl{\Z \subseteq R}{} ein kommutativer Ring. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(n) }
{ \cong} { (R_k)/(n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und sei
\mathl{S \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_S$ normal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} sei
\mathl{f \in R}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} genau dann ist, wenn für alle \definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{} $R_{ {\mathfrak p} }$ gilt, dass
\mathl{f \in {\mathfrak a} R_{ {\mathfrak p} }}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Beweise für einen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} die Eigenschaften der \definitionsverweis {Ordnung}{}{,} die in Lemma 22.14 formuliert sind.

}
{} {}


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