Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 21

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich mit der -Basis und und einem von verschiedenen Ideal . Zeige, dass

ein Ideal in ist.


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich und , wobei ein von verschiedenes Ideal bezeichnet. Zeige, dass ein Vielfaches der Norm von ist.


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich und ein von verschiedenes Ideal in . Zeige


Aufgabe

Sei ein quadratischer Zahlbereich und mit . Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass es (mit der Notation des Beweises von Satz 21.1) eine -Basis des Ideals gibt mit .


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich und ein Ideal in mit der Eigenschaft, dass die Norm von eine Primzahl ist. Zeige, dass ein maximales Ideal ist.


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich und ein maximales Ideal in . Zeige, dass es eine Primzahl derart gibt, das eine -Basis der Form und oder der Form und besitzt.


Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Bestimme gemäß Satz 21.1 eine -Basis des Ideals und bestimme damit die Norm des Ideals.


Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige, dass das Ideal ein Hauptideal ist und gebe einen Erzeuger an.


Aufgabe

Es sei eine quadratfreie Zahl und . Es sei der größte gemeinsame Teiler von und . Bestimme und im Sinne von Satz 21.1.


Aufgabe *

Sei ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element , , eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.


Aufgabe

Es sei eine quadratfreie Zahl mit . Es sei das Hauptideal im quadratischen Zahlbereich . Zeige, dass der Durchschnitt kein Hauptideal in ist.


Aufgabe

Charakterisiere für den Ring

der Eisenstein-Zahlen die Primzahlen aus , die in verzweigt sind, träge sind oder zerfallen.


Aufgabe

Sei eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung . Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen . Zeige, dass entweder mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein quadratischer Zahlbereich und zwei von verschiedene Ideale. Zeige, dass die Norm von die Norm von teilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl, sei und sei der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl ein Isomorphismus

vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei nicht sein muss.


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