Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise, dass es zu einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {Q(R)^{\times} / R^{\times} } { H } {} gibt, wobei $H$ die Gruppe der \definitionsverweis {Hauptdivisoren}{}{} bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal $\neq 0$ in $A_D$. Zeige, dass das konjugierte Ideal $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der \definitionsverweis {Klassengruppe}{}{} das Inverse zu ${\mathfrak a}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f) }
{ = }{ {\mathfrak p}_1 \cdots {\mathfrak p}_k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass $f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${\mathfrak p}_i$ Hauptideale sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in
\mathl{\Z[\sqrt{-2}]}{} einen größten gemeinsamen Teiler für \mathkor {} {22 +25 \sqrt{-2}} {und} {43- 23 \sqrt{-2}} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte in $\Z[\sqrt{-2}]$ die beiden Elemente
\mathdisp {x=4+7 \sqrt{-2} \text{ und } y=5 + 8 \sqrt{-2}} { . }
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen $N(x)$ und $N(y)$ (in $\Z$) und das von $x$ und $y$ erzeugte Ideal in $\Z[\sqrt{-2}]$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z [\sqrt{-6}] }
{ \cong }{ { \Z}[X]/(X^2+6) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q }
{ =} { \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \sqrt{-6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-15}=\Z[\frac{1+\sqrt{-15} }{2}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-15}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{3}{10} - \frac{5}{6} \sqrt{-15}} { }
den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} und stelle ihn als Differenz zweier \definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{} dar.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-11}=\Z[\frac{1+\sqrt{-11} }{2}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-11}{.} Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathdisp {35 + \sqrt{-11} \mbox{ und }-89 + 21 \sqrt{-11}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R =A_{-7}=\Z[\frac{1+\sqrt{-7} }{2}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-7}{.} Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {4 + 9 \sqrt{-7}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ quadratfrei mit
\mathl{D=3 \mod 4}{} und
\mathl{D < -1}{.} Zeige, dass
\mathl{(2, 1 + \sqrt{D})}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} $A_D$ ist, aber kein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{.} Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {quadratfrei}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {imaginär-quadratische Zahlbereich}{}{.} Bestimme für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \geq }{ -12 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Nichteinheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ A_D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit minimaler Norm.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_6 \cong \Z[\sqrt{6}]}{} gilt
\mathdisp {2\cdot 3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} { . }
Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_{-6} \cong \Z[\sqrt{-6}]}{} gilt
\mathdisp {- 2\cdot 3 = \sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6}} { . }
Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ quadratfrei und betrachte
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subseteq A_D}{.} Charakterisiere für die beiden Ringe, wann $\sqrt{D}$ prim ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {Zahlbereichen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {,} die als Ringe nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen \mathkor {} {(R,+,0)} {und} {(S,+,0)} {} als Gruppen \definitionsverweis {isomorph}{}{} als auch die multiplikativen Strukturen \mathkor {} {(R, \cdot,1)} {und} {(S, \cdot,1)} {} als Monoide isomorph sind.

}
{} {}

Bei den beiden folgenden Aufgaben darf man sich auf quadratische Zahlbereiche beschränken, da wir nur für diese die Multiplikativität der Norm gezeigt haben.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Erweitere die \zusatzklammer {multiplikative} {} {} \definitionsverweis {Normabbildung}{}{} \maabbeledisp {} { \text{Ideale} \, (R)} { (\N_+ , \cdot) } { {\mathfrak a} } { N( {\mathfrak a}) } {,} zu einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\text{Gebrochene Ideale} \, (R) } { \Q^{\times} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine \zusatzklammer {additive} {} {} Gruppe $G$ und \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} \mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {} derart, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \text{Gebrochene Ideale} \, (R) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & \operatorname{Div} { \left( R \right) } \\ \!\!\! \!\!\! \operatorname{Norm} \downarrow & & \downarrow \psi \\ \,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Q^{\times} & \stackrel{\varphi }{\longrightarrow} & \!\!\! \!\!\! G \end{matrix}} { }
kommutiert und dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme in
\mathl{\Z[\sqrt{-2}]}{} einen größten gemeinsamen Teiler für \mathkor {} {-169 + 2 \sqrt{-2}} {und} {-70 + 113 \sqrt{-2}} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei angenommen, dass jede ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} eine Primfaktorzerlegung in $R$ besitzt. Zeige, dass dann $R$ bereits \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \neq }{ 0,1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {quadratfrei}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.} Es Es sei $p$ eine Primzahl, die in $A_D$ nicht \definitionsverweis {träge}{}{} sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen. \aufzaehlungvier{$p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in $A_D$. }{$p$ ist nicht \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} \zusatzklammer {also zerlegbar} {} {} in $A_D$. }{$p$ oder $-p$ ist die \definitionsverweis {Norm}{}{} eines Elementes aus $A_D$. }{$p$ oder $-p$ ist die Norm eines \definitionsverweis {Primelementes}{}{} aus $A_D$.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{D \leq -2}{} quadratfrei und betrachte
\mathl{R=\Z[\sqrt{D}]}{.} Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von $D$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { \sqrt{D} \sqrt{D} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Zeige damit, dass $\sqrt{D}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls $-D$ keine Primzahl ist, dann auch $\sqrt{D}$ nicht prim in $R$ ist.

}
{} {}