Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 25

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Beweise, dass es zu einem Zahlbereich einen Gruppenisomorphismus

gibt, wobei die Gruppe der Hauptdivisoren bezeichnet.


Aufgabe

Sei ein quadratischer Zahlbereich und sei ein Ideal in . Zeige, dass das konjugierte Ideal in der Klassengruppe das Inverse zu ist.


Aufgabe

Sei ein Zahlbereich und sei , . Es sei die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale Hauptideale sind.


Aufgabe

Bestimme in einen größten gemeinsamen Teiler für und .


Aufgabe

Betrachte in die beiden Elemente

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen und (in ) und das von und erzeugte Ideal in .


Aufgabe

Sei . Berechne den Hauptdivisor zu


Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.


Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von


Aufgabe

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe

Sei quadratfrei mit und . Zeige, dass ein Primideal im quadratischen Zahlbereich ist, aber kein Hauptideal. Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.


Aufgabe

Sei quadratfrei und der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für die Nichteinheiten mit minimaler Norm.


Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich gilt

Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.


Aufgabe

Im quadratischen Zahlbereich gilt

Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?


Aufgabe

Sei quadratfrei und betrachte . Charakterisiere für die beiden Ringe, wann prim ist.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen und , die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen und als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen und als Monoide isomorph sind.


Bei den beiden folgenden Aufgaben darf man sich auf quadratische Zahlbereiche beschränken, da wir nur für diese die Multiplikativität der Norm gezeigt haben.

Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich. Erweitere die (multiplikative) Normabbildung

zu einem Gruppenhomomorphismus


Aufgabe

Finde eine (additive) Gruppe und Gruppenhomomorphismen und derart, dass das Diagramm

kommutiert und dass injektiv ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in einen größten gemeinsamen Teiler für und .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl , , eine Primfaktorzerlegung in besitzt. Zeige, dass dann bereits faktoriell ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei quadratfrei und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Sei eine Primzahl, die in nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. besitzt eine Primfaktorzerlegung in .
  2. ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in .
  3. oder ist die Norm eines Elementes aus .
  4. oder ist die Norm eines Primelementes aus .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei quadratfrei und betrachte . Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von durch

gegeben ist. Zeige damit, dass irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls keine Primzahl ist, dann auch nicht prim in ist.



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