Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 26

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von konvexen Mengen wieder konvex ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis

isomorph zu ist.


Aufgabe

Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters .


Aufgabe

Es seien vollständige Gitter. Zeige, dass es eine -lineare Abbildung

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

induziert.


Aufgabe

Es seien rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine -lineare Abbildung

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

induziert.


Aufgabe

Es seien rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter mit gibt.


Aufgabe

Es sei ein Hausdorffraum und es sei eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei kompakt. Zeige, dass abgeschlossen in ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung kompakt ist.


Aufgabe

Es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass es Punkte und mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte und die Abschätzung

gilt.

Tipp: Betrachte die Produktmenge und darauf die Abbildung . Argumentiere dann mit Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)).

Aufgabe

Zeige, dass ein Körper genau dann die Charakteristik besitzt, wenn die additive Gruppe torsionsfrei ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Alle Springmäuse leben in und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung und den Sprung . Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

Welche Springmäuse können sich begegnen?


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Teilmenge des . Zeige, dass ein Punkt genau dann zur konvexen Hülle von gehört, wenn es endlich viele Punkte , , und reelle Zahlen , , mit , und mit

gibt.


Aufgabe (6 Punkte)

Skizziere zum Gitter in drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weitere Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen konvex, kompakt und zentralsymmetrisch erfüllen.



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