Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 4/latex

\setcounter{section}{4}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz
\mathl{12x=3 \mod 21}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz
\mathl{13x=11 \mod 141}{}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Rest von $27!$ modulo $31$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ ab }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.

b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \neq }{ b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$

c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2071) }
{ \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 5 \!\! \mod 11 \text{ und } x = 6 \!\! \mod 13} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme für die Zahlen $2$, $9$ und $25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(9) \times \Z/(25)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 0 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 3 \!\! \mod 9 \text{ und } x = 5 \!\! \mod 25} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Bestimme für die Zahlen $4$, $5$ und $11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(4) \times \Z/(5) \times \Z/(11)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 3 \!\! \mod 4 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 10 \!\! \mod 11} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und
\mathl{S_1 , \ldots , S_n}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} mit dem \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} {S_1 \times \cdots \times S_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen \maabbdisp {\varphi_i} {R} {S_i } {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe eine surjektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3) } {} an, die mit der Multiplikation verträglich \zusatzklammer {also ein Monoidhomomorphismus} {} {} ist, aber kein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalte \zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {f} {f^p } {,} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.

}
{} {Tipp: Benutze Aufgabe 3.21.}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \geq }{ p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \Z/(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ =} { g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $n_1, \ldots , n_k$ positive natürliche Zahlen und es sei
\mathdisp {G=\Z/(n_1) \times \Z/(n_2) \times \cdots \times \Z/(n_k)} { }
die \definitionsverweis {Produktgruppe}{}{. Bestimme den \definitionsverweis {Exponenten}{}{} von $G$.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe $S_n$ zu einer Menge mit $n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in $S_n$ Elemente der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe $S_n$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es in der \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente gibt, deren \definitionsverweis {Ordnung}{}{} gleich $n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Für eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ bezeichne $T(G)$ die Menge aller Elemente mit endlicher \definitionsverweis {Ordnung}{}{} in $G$. Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungdrei{Ist $G$ abelsch, so ist $T(G)$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $G$. }{Ist $T(G)$ eine Untergruppe, so ist $T(G)$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$. }{Es gibt eine Gruppe $G$, für die $T(G)$ keine Untergruppe von $G$ ist. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Formuliere und beweise \zusatzklammer {bekannte} {} {} Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ = }{ 2,3,5,9,11 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ = }{ x^7+2x^3 +3x+4 }
{ \in }{ { \left( \Z/(5) \right) } [x] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x) }
{ \in }{ { \left( \Z/(5) \right) } [x] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vom Grad $< 5$, das für alle Elemente aus
\mathl{\Z/(5)}{} mit
\mathl{f(x)}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

a) Bestimme für die Zahlen $2$, $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(3) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 1 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 3 \text{ und } x = 2 \!\! \mod 7} { . }

}
{} {}