Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 4

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz .


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz


Aufgabe

Sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.


Aufgabe

Bestimme den Rest von modulo .


Aufgabe *

Seien und sei .

a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.


b) Sei . Ist stets ein Teiler von ?


c) Man gebe drei Primfaktoren von an.


Aufgabe *

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der für die beiden Zahlen und .

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie

Welche Restklasse modulo entspricht dem Restklassenpaar und welche dem Paar ?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo , die modulo den Rest hat und die modulo den Rest hat.


Aufgabe *

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe *

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe

Es seien und kommutative Ringe mit dem Produktring

Zeige, dass ein Ringhomomorphismus

dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen

für .


Aufgabe *

Man gebe eine surjektive Abbildung

an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Tipp: Benutze Aufgabe 3.21.

Aufgabe *

Sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es seien positive natürliche Zahlen und es sei

die Produktgruppe. Bestimme den Exponenten von .


Aufgabe *

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.

a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.


Aufgabe

Für eine Gruppe bezeichne die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung in . Zeige folgende Aussagen.

  1. Ist abelsch, so ist eine Untergruppe von .
  2. Ist eine Untergruppe, so ist ein Normalteiler in .
  3. Es gibt eine Gruppe , für die keine Untergruppe von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei . Finde ein Polynom vom Grad , das für alle Elemente aus mit übereinstimmt.


Aufgabe (3 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen



<< | Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)