Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz ${}12x=3\mod 21$.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz ${}13x=11\mod 141$

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe

Bestimme den Rest von ${}27!$ modulo ${}31$.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b\geq 2$ und sei ${}n=ab$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${}X^{a}-1$ und ${}X^{b}-1$ Teiler des Polynoms ${}X^{n}-1$ sind.

b) Es sei ${}a\neq b$. Ist ${}(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von ${}X^{n}-1$

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${}2^{30}-1$ an.

Aufgabe *

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der ${}1$ für die beiden Zahlen ${}19$ und ${}109$.

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie

${}\mathbb {Z} /(2071)\cong \mathbb {Z} /(19)\times \mathbb {Z} /(109)\,.$

Welche Restklasse modulo ${}2071$ entspricht dem Restklassenpaar ${}(1,0)$ und welche dem Paar ${}(0,1)$?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo ${}2071$, die modulo ${}19$ den Rest ${}5$ hat und die modulo ${}109$ den Rest ${}10$ hat.

Aufgabe *

(a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}11$ und ${}13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(11)\times \mathbb {Z} /(13)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=5\!\!\mod 11{\text{ und }}x=6\!\!\mod 13.$

Aufgabe *

(a) Bestimme für die Zahlen ${}2$, ${}9$ und ${}25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(25)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=0\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=3\!\!\mod 9{\text{ und }}x=5\!\!\mod 25.$

Aufgabe

(a) Bestimme für die Zahlen ${}4$, ${}5$ und ${}11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(11)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=3\!\!\mod 4,\,\,\,\,x=2\!\!\mod 5{\text{ und }}x=10\!\!\mod 11.$

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ kommutative Ringe mit dem Produktring

${}S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.$

Zeige, dass ein Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen

$\varphi _{i}\colon R\longrightarrow S_{i}$

für ${}i=1,\ldots ,n$.

Aufgabe *

Man gebe eine surjektive Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3)$

an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Tipp: Benutze Aufgabe 3.21.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}n_{1},\ldots ,n_{k}$ positive natürliche Zahlen und es sei

$G=\mathbb {Z} /(n_{1})\times \mathbb {Z} /(n_{2})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{k})$

die Produktgruppe. Bestimme den Exponenten von ${}G$.

Aufgabe *

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe ${}S_{n}$ zu einer Menge mit ${}n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in ${}S_{n}$ Elemente der Ordnung ${}n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe ${}S_{n}$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ${}n$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Für eine Gruppe ${}G$ bezeichne ${}T(G)$ die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung in ${}G$. Zeige folgende Aussagen.

1. Ist ${}G$ abelsch, so ist ${}T(G)$ eine Untergruppe von ${}G$.
2. Ist ${}T(G)$ eine Untergruppe, so ist ${}T(G)$ ein Normalteiler in ${}G$.
3. Es gibt eine Gruppe ${}G$, für die ${}T(G)$ keine Untergruppe von ${}G$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler ${}k=2,3,5,9,11$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}f(x)=x^{7}+2x^{3}+3x+4\in (\mathbb {Z} /(5))[x]$. Finde ein Polynom ${}g(x)\in (\mathbb {Z} /(5))[x]$ vom Grad ${}<5$, das für alle Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(5)$ mit ${}f(x)$ übereinstimmt.

Aufgabe (3 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen ${}2$, ${}3$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=1\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=2\!\!\mod 3{\text{ und }}x=2\!\!\mod 7.$