Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz  $12x=3mod21$. 

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz  $13x=11mod141$. 

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass $a^p-a$ ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.

Aufgabe

Bestimme den Rest von $27!$ modulo $31$.

Aufgabe *

Es seien  $a,b\ge 2$  und sei  $n=ab$. 

a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.

b) Es sei  $a\ne b$.  Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?

c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30}-1$ an.

Aufgabe *

a) Finde mit Hilfe des euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie

$\mathbb{Z}/(2071)\cong \mathbb{Z}/(19)\times \mathbb{Z}/(109).$

Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1,0)$ und welche dem Paar $(0,1)$?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.

Aufgabe *

a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb{Z}/(3)\times \mathbb{Z}/(11)\times \mathbb{Z}/(13)$

die Restetupel $(1,0,0),(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2mod3,x=5mod11\text{ und }x=6mod13.$

Aufgabe *

a) Bestimme für die Zahlen $2$, $9$ und $25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(9)\times \mathbb{Z}/(25)$

die Restetupel $(1,0,0),(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen

$x=0mod2,x=3mod9\text{ und }x=5mod25.$

Aufgabe

a) Bestimme für die Zahlen $4$, $5$ und $11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb{Z}/(4)\times \mathbb{Z}/(5)\times \mathbb{Z}/(11)$

die Restetupel $(1,0,0),(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen

$x=3mod4,x=2mod5\text{ und }x=10mod11.$

Aufgabe

Es seien $R$ und $S_1,\dots ,S_n$ kommutative Ringe mit dem Produktring

$S=S_1\times \cdots \times S_n.$

Zeige, dass ein Ringhomomorphismus

$\phi :R⟶S$

dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen

${\phi }_i:R⟶S_i$

für  $i=1,\dots ,n$. 

Aufgabe *

Man gebe eine surjektive Abbildung

$\phi :\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/(3)$

an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  $p>0$  enthalte (dabei ist $p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R⟶R,f⟼f^p,$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Tipp: Benutze Aufgabe 3.21.

Aufgabe *

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{Z}/(p)$ vom Grad  $d\ge p$.  Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $<p$ derart gibt, dass für alle Elemente  $a\in \mathbb{Z}/(p)$  die Gleichheit

$f(a)=g(a)$

gilt.

Aufgabe

Es seien $n_1,\dots ,n_k$ positive natürliche Zahlen und es sei

$G=\mathbb{Z}/(n_1)\times \mathbb{Z}/(n_2)\times \cdots \times \mathbb{Z}/(n_k)$

die Produktgruppe. Bestimme den Exponenten von $G$.

Aufgabe *

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe $S_n$ zu einer Menge mit $n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in $S_n$ Elemente der Ordnung $n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe $S_n$ und ein Element darin, dessen Ordnung größer als $n$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ zu jedem  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  Elemente gibt, deren Ordnung gleich $n$ ist.

Aufgabe

Für eine Gruppe $G$ bezeichne $T(G)$ die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung in $G$. Zeige folgende Aussagen.

1. Ist $G$ abelsch, so ist $T(G)$ eine Untergruppe von $G$.
2. Ist $T(G)$ eine Untergruppe, so ist $T(G)$ ein Normalteiler in $G$.
3. Es gibt eine Gruppe $G$, für die $T(G)$ keine Untergruppe von $G$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler  $k=2,3,5,9,11$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $f(x)=x^7+2x^3+3x+4\in (\mathbb{Z}/(5))[x]$.  Finde ein Polynom  $g(x)\in (\mathbb{Z}/(5))[x]$  vom Grad $<5$, das für alle Elemente aus $\mathbb{Z}/(5)$ mit $f(x)$ übereinstimmt.

Aufgabe (3 Punkte)

a) Bestimme für die Zahlen $2$, $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(3)\times \mathbb{Z}/(7)$

die Restetupel $(1,0,0),(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen

$x=1mod2,x=2mod3\text{ und }x=2mod7.$