Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Restklasse von $2^{1563}$ modulo $23$.

Aufgabe *

Berechne $3^{1457}$ in $\mathbb{Z}/(13)$.

Aufgabe *

Man berechne in $\mathbb{Z}/(80)$ die Elemente

a) $3^{1234567}$,

b) $2^{1234567}$,

c) $5^{1234567}$.

Aufgabe

Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen Lemma 5.9, dass also der kanonische Homomorphismus $(\mathbb{Z}/(p^r){)}^{\times }\to (\mathbb{Z}/(p){)}^{\times }$ surjektiv ist ($p$ Primzahl).

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb{Z}/(11)$.

Aufgabe

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb{Z}/(23)$.

Aufgabe *

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb{Z}/(13)$.

Aufgabe

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und $\mathbb{Z}/(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist.

Aufgabe *

Bestimme in der Einheitengruppe ${(\mathbb{Z}/(17))}^{\times }$ zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element  $x\in {(\mathbb{Z}/(17))}^{\times }$,  das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

$H\subseteq {(\mathbb{Z}/(17))}^{\times }$

an, die aus vier Elementen besteht.

Aufgabe *

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\mathbb{Z}/(360)$.

a) Schreibe $\mathbb{Z}/(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt $\mathbb{Z}/(360)$?

c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\mathbb{Z}/(360)$.

Aufgabe

Zeige, dass die eulersche Funktion $\phi$ für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft

$\phi (\mathrm{ggT}(m,n))\cdot \phi (\mathrm{kgV}(m,n))=\phi \left(n\right)\cdot \phi \left(m\right)$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei $\phi \left(n\right)$ die eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung

$\phi \left(n\right)\ge \frac{\sqrt{n}}{2}.$

Aufgabe

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern $\mathbb{Z}/(13)$, $\mathbb{Z}/(17)$ und $\mathbb{Z}/(19)$.

Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln in $ℂ$ und die Gruppe $\mathbb{Z}/(n)$ isomorph sind.

In den nächsten Aufgaben werden die folgenden Begriffe verwendet.

Ein Element $a$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt nilpotent, wenn  $a^n=0$  für eine natürliche Zahl $n$ ist.

Ein Element $e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn  $e^2=e$  gilt.

Aufgabe *

Es sei  $p\in \mathbb{Z}$  eine Primzahl und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass der Restklassenring $\mathbb{Z}/(p^n)$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente $0$ und $1$ besitzt.

Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von $\mathbb{Z}/(60)$.

Aufgabe *

a) Finde die Zahlen  $z\in \{0,1,\dots ,9\}$  mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich $z$ ist.

b) Finde die Zahlen  $z\in \{0,1,\dots ,99\}$  mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich $z$ sind.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien  $f,g\in R$  nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $f\in R$.  Es sei $f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass  $f=0$  ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und  $f\in R$  ein nilpotentes Element. Zeige, dass $1+f$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei  $\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$.  Betrachte die beiden Unterringe

$R=\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]\subset \mathbb{Z}[\omega ]=S$

der komplexen Zahlen ($S$ ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in $R$, die in $R$ nicht assoziiert sind, wohl aber in $S$. Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in $R$, das nicht prim ist (in $R$). Ist es prim in $S$?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Beweise unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass

$1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots (p-4{)}^2\cdot (p-2{)}^2=(-1{)}^{\frac{p+1}{2}}modp$

gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

$\phi \left(n\right)=n\cdot \prod _{p\mid n,p\text{ prim}}(1-\frac{1}{p})$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in $\mathbb{Z}/(72)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen $k$ und $n$ mit $k\mid n$ der kanonische Homomorphismus

${(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }⟶{(\mathbb{Z}/(k))}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler $k$ von $n$ mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus

$\phi :\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k)$

gilt, dass $a$ in $\mathbb{Z}/(n)$ genau dann eine Einheit ist, wenn $\phi (a)$ in $\mathbb{Z}/(k)$ eine Einheit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl  $n\ne 0$  bezeichne ${\nu }_p(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${\nu }_p:\mathbb{Z}\setminus \{0\}\to \mathbb{N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt  ${\nu }_p(nm)={\nu }_p(n)+{\nu }_p(m)$. 

c) Finde eine Fortsetzung ${\nu }_p:\mathbb{Q}\setminus \{0\}\to \mathbb{Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${\mathbb{Q}}^{\times }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und $\mathbb{Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.