Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 5

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Restklasse von modulo .


Aufgabe *

Berechne in .


Aufgabe *

Man berechne in die Elemente

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen Lemma 5.9, dass also der kanonische Homomorphismus surjektiv ist ( Primzahl).


Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe *

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe

Sei eine ungerade Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist.


Aufgabe *

Bestimme in der Einheitengruppe zu jeder möglichen Ordnung ein Element , das die Ordnung besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

an, die aus vier Elementen besteht.


Aufgabe *

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .

a) Schreibe als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ?

c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von in .


Aufgabe

Zeige, dass die eulersche Funktion für natürliche Zahlen die Eigenschaft

erfüllt.


Aufgabe

Sei die Eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung


Aufgabe

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , und .


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in und die Gruppe isomorph sind.


In den nächsten Aufgaben werden die folgenden Begriffe verwendet.

Ein Element eines kommutativen Ringes heißt nilpotent, wenn ist für eine natürliche Zahl .


Ein Element eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn gilt.


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.


Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von .


Aufgabe *

a) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.

b) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und es seien nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ebenfalls nilpotent ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei . Es sei sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Zeige, dass eine Einheit ist.


Aufgabe

Es sei . Betrachte die beiden Unterringe

der komplexen Zahlen ( ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in , die in nicht assoziiert sind, wohl aber in . Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in , das nicht prim ist (in ). Ist es prim in ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine ungerade Primzahl. Beweise unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen und mit der kanonische Homomorphismus

surjektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler von mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus

gilt, dass in genau dann eine Einheit ist, wenn in eine Einheit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl bezeichne den Exponenten, mit dem die Primzahl in der Primfaktorzerlegung von vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt .

c) Finde eine Fortsetzung der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei mit der Multiplikation und mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.



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