Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Restklasse von ${}2^{1563}$ modulo ${}23$.

Aufgabe *

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe *

Man berechne in ${}\mathbb {Z} /(80)$ die Elemente

1. ${}3^{1234567}$,
2. ${}2^{1234567}$,
3. ${}5^{1234567}$.

Aufgabe

Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen Lemma 5.9, dass also der kanonische Homomorphismus ${}(\mathbb {Z} /(p^{r}))^{\times }\rightarrow (\mathbb {Z} /(p))^{\times }$ surjektiv ist (${}p$ Primzahl).

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(23)$.

Aufgabe *

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist.

Aufgabe *

Bestimme in der Einheitengruppe ${}\mathbb {Z} /(17)^{\times }$ zu jeder möglichen Ordnung ${}k$ ein Element ${}x\in \mathbb {Z} /(17)^{\times }$, das die Ordnung ${}k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

$H\subseteq \mathbb {Z} /(17)^{\times }$

an, die aus vier Elementen besteht.

Aufgabe *

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(360)$.

a) Schreibe ${}\mathbb {Z} /(360)$ als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ${}\mathbb {Z} /(360)$?

c) Schreibe das Element ${}239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von ${}239$ in ${}\mathbb {Z} /(360)$.

Aufgabe

Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ für natürliche Zahlen ${}n,m$ die Eigenschaft

${}{\varphi (\operatorname {ggT} (m,n))}\cdot {\varphi (\operatorname {kgV} (m,n))}={\varphi (n)}\cdot {\varphi (m)}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}{\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion. Zeige die Abschätzung

${}{\varphi (n)}\geq {\frac {\sqrt {n}}{2}}\,.$

Aufgabe

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern ${}\mathbb {Z} /(13)$, ${}\mathbb {Z} /(17)$ und ${}\mathbb {Z} /(19)$.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ und die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph sind.

In den nächsten Aufgaben werden die folgenden Begriffe verwendet.

Ein Element ${}a$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt nilpotent, wenn ${}a^{n}=0$ für eine natürliche Zahl ${}n$ ist.

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von ${}{\mathbb {Z} }/(60)$.

Aufgabe *

a) Finde die Zahlen ${}z\in \{0,1,\ldots ,9\}$ mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

b) Finde die Zahlen ${}z\in \{0,1,\ldots ,99\}$ mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}f,g\in R$ nilpotente Elemente. Zeige, dass dann die Summe ${}f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$. Es sei ${}f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ${}f=0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein nilpotentes Element. Zeige, dass ${}1+f$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$. Betrachte die beiden Unterringe

${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]\subset \mathbb {Z} [\omega ]=S\,$

der komplexen Zahlen (${}S$ ist also der Ring der Eisensteinzahlen). Finde ein Beispiel von zwei Elementen in ${}R$, die in ${}R$ nicht assoziiert sind, wohl aber in ${}S$. Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines irreduziblen Elementes in ${}R$, das nicht prim ist (in ${}R$). Ist es prim in ${}S$?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Beweise unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass

$1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdots (p-4)^{2}\cdot (p-2)^{2}=(-1)^{\frac {p+1}{2}}\mod p$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die eulersche Formel für die eulersche Funktion, das ist die Aussage, dass

${}{\varphi (n)}=n\cdot \prod _{p{|}n,\ p{\text{ prim}}}{\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten in ${}{\mathbb {Z} }/(72)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}k$ und ${}n$ mit ${}k\,{|}\,n$ der kanonische Homomorphismus

${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(k)\right)}^{\times }$

surjektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler ${}k$ von ${}n$ mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k)$

gilt, dass ${}a$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ genau dann eine Einheit ist, wenn ${}\varphi (a)$ in ${}\mathbb {Z} /(k)$ eine Einheit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl ${}n\neq 0$ bezeichne ${}\nu _{p}(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt ${}\nu _{p}(nm)=\nu _{p}(n)+\nu _{p}(m)$.

c) Finde eine Fortsetzung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Q} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und ${}\mathbb {Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.