Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 4

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Die Restklassenringe
Anillo cíclico.png

Für die Restklassenringe verwenden wir als kanonisches Repräsentantensystem.



Satz  

Genau dann ist eine Einheit modulo (d.h. repräsentiert eine Einheit in ), wenn und teilerfremd sind.

Beweis  

Sind und teilerfremd, so gibt es nach Satz 3.3 eine Darstellung der , es gibt also ganze Zahlen mit

Betrachtet man diese Gleichung modulo , so ergibt sich in . Damit ist eine Einheit mit Inversem .

Ist umgekehrt eine Einheit in , so gibt es ein mit in . Das bedeutet aber, dass ein Vielfaches von ist, so dass also

gilt. Dann ist aber wieder und und sind teilerfremd.



Korollar  

Sei . Der Restklassenring ist genau dann ein Körper,

wenn eine Primzahl ist.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 3.12.


Wir geben noch einen zweiten Beweis.

Die Zahl ist genau dann prim, wenn sie teilerfremd zu jeder Zahl , , ist. Dies ist nach Satz 4.1 genau dann der Fall, wenn in jedes von verschiedene Element eine Einheit ist.




Die eulersche Phi-Funktion



Definition  

Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.

Bemerkung  

Die Eulersche Funktion gibt also für nach Satz 4.1 an, wie viele Zahlen , , zu teilerfremd sind.




Satz  

Sei eine natürliche Zahl.

Dann gilt für jede zu teilerfremde Zahl die Beziehung

Beweis  

Das Element gehört zur Einheitengruppe , die Elemente besitzt. Nach dem Satz von Lagrange ist aber die Gruppenordnung ein Vielfaches der Ordnung des Elementes.



Als Spezialfall erhalten wir den sogenannten kleinen Fermatschen Satz:



Lemma  

Für eine Primzahl und eine beliebige ganze Zahl gilt

Anders ausgedrückt: ist durch teilbar.

Beweis  

Ist nicht durch teilbar, so definiert ein Element in der Einheitengruppe ; diese Gruppe hat die Ordnung , und nach dem Satz von Lagrange gilt . Durch Multiplikation mit ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig steht.




Beispiel  

Sei beispielsweise . Dann ist für




Endliche Körper und der Satz von Wilson

Definition  

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.



Satz  

Sei ein endlicher Körper.

Dann ist das Produkt aller von verschiedener Elemente aus gleich .

Beweis  

Die Gleichung hat in einem Körper nur die Lösungen und , die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für immer ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

schreiben. Ist , so ist das Produkt . Ist hingegen , so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist .


Die folgende Aussage heißt Satz von Wilson.



Korollar  

Sei eine Primzahl.

Dann ist .

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 4.9, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen und läuft, also durch alle Einheiten im Restklassenkörper .




Der Chinesische Restsatz

Wir wollen im folgenden die Struktur der Restklassenringe verstehen, insbesondere, wenn die Primfaktorzerlegung von bekannt ist.



Lemma  

Seien und positive natürliche Zahlen, und teile .

Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus

Beweis  

Wir betrachten die Ringhomomorphismen

Aufgrund der Teilerbeziehung haben wir die Beziehung

Aufgrund des Homomorphiesatzes hat man daher einen kanonischen Ringhomomorphismus von links unten nach rechts oben.


Zur Formulierung des Chinesischen Restsatzes erinnern wir an den Begriff des Produktringes.


Definition  

Seien kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der , .



Satz  

Sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung (die seien also verschieden und ).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen einen Ringisomorphismus

Zu gegebenen ganzen Zahlen gibt es also genau eine natürliche Zahl , die die simultanen Kongruenzen

löst.

Beweis  

Da die Ringe links und rechts beide endlich sind und die gleiche Anzahl von Elementen haben, nämlich , genügt es, die Injektivität zu zeigen. Sei eine natürliche Zahl, die im Produktring (rechts) zu wird, also modulo den Rest hat für alle . Dann ist ein Vielfaches von für alle , d.h. in der Primfaktorzerlegung von muss zumindest mit den Exponenten vorkommen. Also muss nach Korollar 3.10 ein Vielfaches des Produktes sein, also ein Vielfaches von . Damit ist in und die Abbildung ist injektiv.


Tablero producto anillos cíclicos 2.png


Aufgabe

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Lösung

(a) : Alle Vielfachen von haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

(b) Man schreibt (in )

Die Lösung ist dann

Die minimale Lösung ist dann .





Die Einheitengruppe im Restklassenring

Wir wollen zeigen, dass die Einheitengruppe , wenn eine Primzahl ist, eine zyklische Gruppe ist, also von einem Element erzeugt wird. Der Restklassenring ist ein Körper, und wir werden hier nach einigen Vorbereitungen allgemeiner zeigen, dass jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch ist. Dazu benötigen wir einige Resultate über kommutative Gruppen und zu Polynomringen über Körpern. Wir beginnen mit zwei gruppentheoretischen Lemmata. Wir verwenden multiplikative Schreibweise.



Lemma  

Sei eine kommutative Gruppe und Elemente der endlichen Ordnungen und , wobei und teilerfremd seien.

Dann hat die Ordnung .

Beweis  

Sei . Wir haben zu zeigen, dass ein Vielfaches von ist. Es ist

da ja die Ordnung von ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass ein Vielfaches der Ordnung von , also von sein muss. Da und teilerfremd sind, folgt aus Lemma 3.4, dass ein Vielfaches von ist. Ebenso ergibt sich, dass ein Vielfaches von ist, so dass , wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von sein muss.



Definition  

Der Exponent einer endlichen Gruppe ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.



Lemma  

Sei eine endliche kommutative Gruppe und sei , wobei den Exponenten der Gruppe bezeichnet.

Dann ist zyklisch.

Beweis  

Sei

die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist

Sei ein Primteiler von . Wegen

gibt es ein Element , dessen Ordnung ein Vielfaches von ist. Dann gibt es auch (in der von erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element der Ordnung . Dann hat das Produkt nach Lemma 4.14 die Ordnung .



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