Kurve/Euklidischer Raum/Isometrie auf Bild/Bogenparametrisiert/Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

$\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine injektive stetig differenzierbare Kurve. Wir fassen sowohl ${}I$ als auch ${}\mathbb {R} ^{n}$ über ihre euklidische Struktur als riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass ${}\gamma (I)\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}U$ offen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist. Zeige, dass genau dann eine Isometrie

${}I=\gamma (I)\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

vorliegt, wenn ${}\gamma$ bogenparametrisiert ist.

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