Beweis
Wir schreiben
-
es ist also
-
Für
ergibt sich mit iterierter partieller Integration und da für
den Faktor enthält
Bei
ist dies gleich , da eine Stammfunktion von ist und den Faktor enthält. Es liegt also ein Orthogonalsystem vor.
Bei
ist der Ausdruck nach
Aufgabe
gleich
Somit ist insbesondere
-
und daher ist unter Verwendung der bewiesenen Orthogonalitätsrelation und von
Aufgabe
Somit bilden die ein Orthonormalsystem. Wegen
-
und da die Leitkoeffizienten der positiv ist, ergeben sich die normierten Legendre-Polynomen auch beim Orthonormalisierungsverfahren. Die Vollständigkeit ergibt sich aus
Fakt
und aus
dem Weierstrassschen Approximationssatz.