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Legendre-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir schreiben

es ist also

Für ergibt sich mit iterierter partieller Integration und da für den Faktor enthält

Bei ist dies gleich , da eine Stammfunktion von ist und den Faktor enthält. Es liegt also ein Orthogonalsystem vor.

Bei ist der Ausdruck nach Aufgabe gleich

Somit ist insbesondere

und daher ist unter Verwendung der bewiesenen Orthogonalitätsrelation und von Aufgabe

Somit bilden die ein Orthonormalsystem. Wegen

und da die Leitkoeffizienten der positiv ist, ergeben sich die normierten Legendre-Polynomen auch beim Orthonormalisierungsverfahren. Die Vollständigkeit ergibt sich aus Fakt und aus dem Weierstrassschen Approximationssatz.