Lemma von Goursat/Quadratversion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}L$ die Seitenlänge des Quadrates. Dann ist der Umfang des Quadrates gleich ${}4L$, und das ist auch die Länge des Intervalls ${}I$. Wir konstruieren rekursiv eine Folge von Quadraten ${}Q_{n}$ mit  ${}Q_{0}=Q$  als Startquadrat. Dabei zerlegt man ${}Q_{n}$ durch Halbierung der Seitenlängen in vier Teilquadrate. Unter diesen wird ${}Q_{n+1}$ in folgender Weise ausgewählt: Es sei ${}\gamma _{n}$ der gleichmäßige (stückweise lineare) Weg entlang des Randes von ${}Q_{n}$, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werde und rechts unten anfängt. Es seien ${}\gamma _{n+1,1},\gamma _{n+1,2},\gamma _{n+1,3},\gamma _{n+1,4}$ die entsprechenden Wege der Ränder der Teilquadrate. Dann gilt

$\int _{\gamma _{n}}fdz=\int _{\gamma _{n+1,1}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,2}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,3}}fdz+\int _{\gamma _{n+1,4}}fdz\,,$

da in der Summe rechts die äußeren Seiten der Teilquadrate einfach und die inneren Seiten der Teilquadrate zweifach mit wechselnder Orientierung durchlaufen werden. Wir wählen nun ${}Q_{n+1}$ als dasjenige Teilquadrat, für das der Betrag von ${}\int _{\gamma _{n+1,i}}fdz$ unter diesen vier Wegintegralen maximal ist. Dabei gilt

${}\vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \leq 4\cdot \vert {\int _{\gamma _{n+1}}fdz}\vert \,,$

und induktiv erhält man die Abschätzung

${}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert \leq 4^{n}\cdot \vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \,.$

Es sei nun ${}a$ der durch die Folge der Quadrate ${}Q_{n}$ bestimmte Punkt der Ebene (die Folge der ${}x$-Seiten und der ${}y$-Seiten bilden ja jeweils eine Intervallhalbierung, und legen daher nach Fakt einen eindeutigen Punkt fest). Aufgrund der komplexen Differenzierbarkeit in ${}a$ gibt es nach Fakt ein  ${}s\in {\mathbb {C} }$  und eine Funktion

$r\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}r$ stetig in ${}a$ und  ${}r(a)=0$  und mit

${}f(z)=f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a)\,.$

Wir möchten

${}\int _{\gamma }fdz=0\,$

zeigen. Dazu zeigen wir, dass

${}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert \leq \epsilon \,$

für jedes vorgegebene positive ${}\epsilon$ ist. Es sei also ein  ${}\epsilon \in \mathbb {R} _{+}$  vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit von ${}r$ gibt es ein  ${}\delta >0$  mit der Eigenschaft, dass für ${}z$ mit  ${}\vert {z-a}\vert \leq \delta$  die Abschätzung  ${}\vert {r(z)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{8L^{2}}}$  gilt.

Es sei ${}n$ derart, dass

${}{\frac {1}{2^{n}}}\leq {\frac {\delta }{2L}}\,$

gilt. Das Quadrat ${}Q_{n}$ hat die Seitenlänge ${}{\frac {L}{2^{n}}}$ und den Umfang ${}{\frac {4L}{2^{n}}}$, und es ist

${}Q_{n}\subseteq U{\left(a,{\frac {2L}{2^{n}}}\right)}\subseteq U{\left(a,\delta \right)}\,.$

Daher ist auf alle Punkte ${}z$ aus ${}Q_{n}$ und insbesondere auf seinen Rand die Abschätzung für ${}r(z)$ anwendbar. Daher ist (die Wegintegrale zu den beiden vorderen Summanden ${}f(a)$ und ${}s(z-a)$ sind nach Fakt gleich ${}0$, da sie eine Stammfunktion besitzen)

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma _{n}}f(z)dz}\vert &=\vert {\int _{\gamma _{n}}f(a)+s(z-a)+r(z)(z-a)dz}\vert \\&=\vert {\int _{\gamma _{n}}r(z)(z-a)dz}\vert \\&=\vert {\int _{I_{n}}r(\gamma _{n}(t))(\gamma _{n}(t)-a)\gamma '_{n}(t)dt}\vert \\&\leq \int _{I_{n}}\vert {r(\gamma _{n}(t))(\gamma _{n}(t)-a)\gamma '_{n}(t)}\vert dt\\&\leq \int _{I_{n}}{\frac {\epsilon }{8L^{2}}}\cdot {\frac {2L}{2^{n}}}dt\\&={\frac {4L}{2^{n}}}\cdot {\frac {\epsilon }{8L^{2}}}\cdot {\frac {2L}{2^{n}}}\\&={\frac {\epsilon }{4^{n}}}.\end{aligned}}$

Es folgt

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }fdz}\vert &\leq 4^{n}\cdot \vert {\int _{\gamma _{n}}fdz}\vert \\&=4^{n}\cdot {\frac {\epsilon }{4^{n}}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe