Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$ . Es sei ${}V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{r}$ die Zerlegung in irreduzible Darstellungen. Wegen der Irreduzibilität ist ${}(V_{i})^{G}=V_{i}\cap V^{G}$ gleich ${}0$ oder gleich ${}V_{i}$ , daher ist (nach Umordnung) ${}V^{G}=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{s}$ . Die direkte Summe der verbleibenden irreduziblen Unterräume, also ${}W=V_{s+1}\oplus \cdots \oplus V_{r}$ bilden ein ${}G$ -invariantes Komplement von ${}V^{G}$ . Wenn ${}W'$ ein solches ${}G$ -Komplement ist, so gilt wieder ${}W'\cap V_{i}=V_{i}$ oder ${}=0$ . Bei ${}W'\cap V_{i}=0$ für ein ${}i\geq s+1$ wäre die Dimension von ${}W'$ zu klein, also muss ${}W'=W$ sein. Den Zusatz kann man für die an ${}W$ beteiligten ${}V_{i}$ getrennt beweisen. Es sei also

h\colon V_{i}\longrightarrow K

eine ${}G$ -invariante Linearform. Bei ${}\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\geq 2$ und ${}h\neq 0$ wäre der Kern nach Fakt ein echter ${}G$ -invarianter Untervektorraum im Widerspruch zur Irreduziblität von ${}V_{i}$ . Bei ${}\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}=1$ und ${}h\neq 0$ wäre ${}h$ eine Bijektion, und dann müsste ${}G$ auf ${}V_{i}$ identisch wirken.
${}(2)\Rightarrow (3)$ . Wir betrachten die lineare Projektion

\pi \colon V\longrightarrow V^{G}

zur Zerlegung ${}V=V^{G}\oplus W$ mit dem ${}G$ -invarianten Komplement ${}W$ . Diese ist ${}G$ -verträglich, da

{}(v+w)\sigma =v\sigma +w\sigma =v+w\sigma \,

und ${}w\sigma$ zu ${}W$ gehört, also dies die Zerlegung von ${}(v+w)\sigma$ ist. Dabei ist ferner ${}\pi (v)=v\neq 0$ und dazu gibt es nach Fakt eine Linearform ${}h\colon V^{G}\rightarrow K$ mit ${}h(v)\neq 0$ . Die Linearform ${}h\circ \pi$ ist ${}G$ -verträglich und leistet das Gewünschte.
${}(3)\Rightarrow (4)$ . Es sei zunächst ${}U$ irreduzibel. Die Räume ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}$ und ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}$ sind nach Aufgabe dual zueinander, und zwar über die Beziehung

\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\longrightarrow K,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(\varphi \circ \psi \right)}.

Dabei ist ${}\varphi \circ \psi$ ein Endomorphismus auf ${}V$ . Wir fassen die Inklusion ${}U\subseteq V$ als eine ${}G$ -verträgliche lineare Abbildung und damit gemäß Aufgabe als ein Element ${}\varphi$ in ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}^{G}$ auf. Nach ${}(3)$ , angewendet auf dieses Element aus dem Homomorphismenraum, muss es ein ${}G$ -invariantes ${}\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\cong {\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}}^{*}$ mit ${}\psi (\varphi )\neq 0$ geben, was ${}\operatorname {Spur} {\left(\varphi \circ \psi \right)}=\operatorname {Spur} {\left(\psi \circ \varphi \right)}\neq 0$ bedeutet. Die lineare Abbildung

\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow U

ist daher nicht die Nullabbildung, und sie ist ${}G$ -invariant als Verknüpfung von zwei ${}G$ -invarianten linearen Abbildungen. Nach Fakt ist ${}\psi \circ \varphi$ eine Streckung, die wir zur Identität normieren können. Somit ist ${}\psi$ eine ${}G$ -invariante Projektion auf ${}U$ und daher ist

{}V=U\oplus \operatorname {kern} \varphi \,.

Im allgemeinen Fall führen wir Induktion über die Dimension von ${}V$ . Es sei also ${}U\subseteq V$ ein ${}G$ -invarianter Untervektorraum. Es sei

{}0\neq U'\subseteq U\,

ein ${}G$ -invarianter irreduzibler Untervektorraum, den es aufgrund der Endlichkeit der Dimension geben muss. Nach der Vorüberlegung ist ${}V=U'\oplus V'$ , wobei ${}V'$ ebenfalls ${}G$ -invariant ist. Es ist dann