Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt

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Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine affin-algebraische Gruppe über . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist linear reduktiv.
  2. Zu jeder -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum besitzt ein eindeutig bestimmtes -Komplement . Dabei gilt .
  3. Zu jeder -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und jedem , , gibt es eine -invariante Linearform mit .
  4. Zu jeder -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und jedem -Untervektorraum gibt es ein -Komplement.