Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $G$ eine affin-algebraische Gruppe über $K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $G$ ist linear reduktiv.
2. Zu jeder $K$-rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ besitzt  $V^G\subseteq V$  ein eindeutig bestimmtes $G$-Komplement  $W\subseteq V$.  Dabei gilt  ${\left(W^{\ast }\right)}^G=0$. 
3. Zu jeder $K$-rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und jedem $v\in V^G$, $v\ne 0$, gibt es eine $G$-invariante Linearform  $f\in V^{\ast }$  mit  $f(v)\ne 0$. 
4. Zu jeder $K$-rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und jedem $G$-Untervektorraum  $U\subseteq V$  gibt es ein $G$-Komplement.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen