Beweis
Es sei
.
Es sei
der
Kern
der Abbildung und
seine
Dimension
(
).
Es sei
-
eine
Basis
von
.
Aufgrund des Basisergänzungssatzes
gibt es Vektoren
-
derart, dass
-
eine Basis von
ist. Wir behaupten, dass
-
eine Basis des Bildes ist. Es sei
ein Element des Bildes
. Dann gibt es ein
mit
.
Dieses
lässt sich mit der Basis als
-
![{\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36de8df5d8cda4bbf44fef15a4923e1f65764589)
schreiben. Dann ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}w&=\varphi (v)\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi (u_{i})+\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi (v_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b9aa2f8344bd59b96fa7f493b20455753b4e50)
so dass sich
als
Linearkombination
der
schreiben lässt.
Zum Beweis der
linearen Unabhängigkeit
der
,
,
sei eine Darstellung der Null gegeben,
-
![{\displaystyle {}0=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}w_{j}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9685065043efbb18ce68a8b424dca8c9aecd3c35)
Dann ist
-
![{\displaystyle {}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350d83cbf192b0a5fc81d1dc73fc75512d5a4f9b)
Also gehört
zum Kern der Abbildung und daher kann man
-
![{\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n-k}t_{j}v_{j}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}u_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509852d50a78decf28287ef6717ae97be8e2c942)
schreiben. Da insgesamt eine Basis von
vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten
sein müssen, also sind insbesondere
.