Lineare Abbildung/Dimensionsformel/R/011022134246/Beispiel

Wir betrachten die durch die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 2& 2\\ 1& 3& 4\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$

gegebene lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^4,\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)⟼M\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y+z\\ 2y+2z\\ x+3y+4z\\ 2x+4y+6z\end{array}\right).$

Zur Bestimmung des Kerns müssen wir das homogene lineare Gleichungssystem

$\left(\begin{array}{c}y+z\\ 2y+2z\\ x+3y+4z\\ 2x+4y+6z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

lösen. Der Lösungsraum ist

$L=\{s\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)\mid s\in ℝ\}$

und dies ist der Kern von $\phi$. Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach der Dimensionsformel gleich $2$.