Lineare Abbildung/Duale Abbildung und transponierte Matrix/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$-Vektorräume mit Basen

${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich dieser Basen durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Zeige, dass die duale Abbildung

$W^{*}\longrightarrow V^{*},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

bezüglich der Dualbasen

$v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}{\text{ und }}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$

durch die transponierte Matrix

${}{M^{\text{tr}}}$ beschrieben wird.

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