Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Injektiv und Spalten linear unabhängig/Aufgabe/Lösung

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Es seien und Basen von bzw. und es seien die Spaltenvektoren von . Die Abbildung hat die Eigenschaft

wobei der -te Eintrag des -ten Spaltenvektors ist. Daher ist

Dies ist genau dann , wenn für alle ist, und dies ist äquivalent zu

Dafür gibt es ein nichttriviales

(Lösungs-)Tupel genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind und genau dann, wenn nicht injektiv ist.