Lineare Abbildung/Nach endlichdimensional/Darstellung mit Linearformen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von ${}W$ und ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{n}^{*}$ die zugehörige Dualbasis. Wir setzen

${}f_{i}=\varphi ^{*}(w_{i}^{*})=w_{i}^{*}\circ \varphi \,.$

Dann ist für jeden Vektor ${}v\in V$

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}w_{i}\right)}(v)&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(v)w_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}(w_{i}^{*}\circ \varphi )(v)w_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{*}(\varphi (v))w_{i}\\&=\varphi (v),\end{aligned}}$

wobei die letzte Gleichung auf Fakt beruht.

Zur bewiesenen Aussage