Lineare Abbildung/Nach endlichdimensional/Darstellung mit Linearformen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $w_{1}, \dots, w_{n}$ eine Basis von $W$ und $w_{1}^{*}, \dots, w_{n}^{*}$ die zugehörige Dualbasis. Wir setzen

f_{i} = φ^{*} (w_{i}^{*}) = w_{i}^{*} \circ φ .

Dann ist für jeden Vektor $v \in V$

\begin{matrix} (\sum_{i = 1}^{n} f_{i} w_{i}) (v) & = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} (v) w_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{n} (w_{i}^{*} \circ φ) (v) w_{i} \\ = \sum_{i = 1}^{n} w_{i}^{*} (φ (v)) w_{i} \\ = φ (v), \end{matrix}

wobei die letzte Gleichung auf Fakt beruht.