Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien diagonalisierbare ${}K$-lineare Abbildungen

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt

$\varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}\colon V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$

diagonalisierbar ist.

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