Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$ . Es seien diagonalisierbare ${}K$ -lineare Abbildungen

\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}

gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt

\varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}\colon V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}

diagonalisierbar ist.