Lineare Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/kgV von Minimalpolynomen auf invarianten Unterräumen/Fakt

Es sei ${}f\in \operatorname {End} _{K}V$ ein Vektorraumendomorphismus und ${}V$ die direkte Summe ${}V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$, wobei für alle ${}i\in I$ gilt ${}f(V_{i})\subseteq V_{i}$.

${}f$ besitzt genau dann ein nichttriviales annullierendes Polynom, wenn alle Einschränkungen ${}f{|}V_{i},i\in I$, nichttriviale annullierende Polynome besitzen.

In diesem Fall gilt

$\mu _{f}=\operatorname {kgV} \left(\mu _{f{|}V_{i}},i\in I\right),$

wobei ${}\operatorname {kgV}$ das kleinste gemeinsame Vielfache in ${}K[X]$ bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen