Lineare Algebra/Endomorphismus/Minimalpolynom/kgV von Minimalpolynomen auf invarianten Unterräumen/Fakt

Es sei $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein Vektorraumendomorphismus und $V$ die direkte Summe $V=\underset{i\in I}{⨁}{V}_i$, wobei für alle  $i\in I$  gilt $f(V_i)\subseteq V_i$.

$f$ besitzt genau dann ein nichttriviales annullierendes Polynom, wenn alle Einschränkungen $f{|}_{V_i},i\in I$, nichttriviale annullierende Polynome besitzen.

In diesem Fall gilt

${\mu }_f=\mathrm{kgV}({\mu }_{f{|}_{V_i}},i\in I),$

wobei $\mathrm{kgV}$ das kleinste gemeinsame Vielfache in $K[X]$ bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen