Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt der Standardraum ${}K^{n}$ die Dimension ${}n$.
2. Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Es sei

   ${}\pi =\tau _{1}\cdots \tau _{r}\,$

   als ein Produkt von ${}r$ Transpositionen geschrieben. Dann gilt für das Signum die Darstellung

   ${}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{r}\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ Polynome über ${}K$. Es sei ${}G$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}P_{i}$. Dann gibt es eine Darstellung

   ${}G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$

   mit ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.