Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus ${}k$ Gleichungen in ${}n$ Variablen gegeben. Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich ${}n-k$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume. Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von ${}W$. Dann ist die Zuordnung

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,f\longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f),$

   ein Isomorphismus

   von ${}K$-Vektorräumen.
3. Sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und sei ${}\lambda \in K$. Dann ist die Dimension des Hauptraumes ${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ gleich der algebraischen Vielfachheit

   von ${}\lambda$.