Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$.
   2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
   3. Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung

      $u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}.$

   4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix mit Einträgen in ${}K$. Dann hat die Multiplikation mit den ${}m\times m$-Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung.
   1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
   2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
   3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).
3. Folgende Aussagen sind äquivalent.
   1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
   2. Es gibt eine ${}\varphi$-invariante Fahne.
   3. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
   4. Das Minimalpolynom ${}\mu _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.