Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. Die Familie ist eine Basis von .
    2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
    3. Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
    4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
  2. Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Dann hat die Multiplikation mit den -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung.
    1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
    2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
    3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
  3. Folgende Aussagen sind äquivalent.
    1. ist trigonalisierbar.
    2. Es gibt eine -invariante Fahne.
    3. Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
    4. Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren.