Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe/Lösung

1. Aus ${}a\cdot b=0$ mit ${}a,b\in K$ folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume. Dann ist

   ${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{2}\right)=\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\cap U_{2}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}+U_{2}\right)\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine nilpotente lineare Abbildung. Dann gibt es eine Basis von ${}V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

   ${\begin{pmatrix}0&u_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&u_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&u_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&u_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

   besitzt, wobei die ${}u_{i}$ gleich ${}0$ oder gleich ${}1$ sind.