Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Aus $a\cdot b=0$ mit $a,b\in K$ folgt $a=0$ oder $b=0$.
2. Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n$ und es seien $U_1,U_2\subseteq V$ Untervektorräume der Dimension ${\dim }_K\left(U_1\right)=n-k_1$ bzw. ${\dim }_K\left(U_2\right)=n-k_2$. Dann ist

   ${\dim }_K(U_1\cap U_2)\ge n-k_1-k_2.$

3. Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

   $\phi :V⟶V$

   eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

   1. $\phi$ ist trigonalisierbar.
   2. Es gibt eine $\phi$-invariante Fahne.
   3. Das charakteristische Polynom ${\chi }_{\phi }$ zerfällt in Linearfaktoren.
   4. Das Minimalpolynom ${\mu }_{\phi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Zur gelösten Aufgabe