Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Zu einem Vektor ${}v\in V$ nennt man

   ${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

   die Norm von ${}v$.

2. In einem Dreieck ${}A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch ${}A$ mit der Geraden durch ${}B$ und ${}C$ der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
3. Der Untervektorraum

   ${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$

   heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.

4. Die Abbildung

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

   1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
   2. ${}\varphi (1)=1$
   3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
5. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.
6. Eine Teilmenge ${}K\subseteq L$ eines Körpers ${}L$ heißt Unterkörper von ${}L$, wenn folgende Eigenschaften gelten.
   1. Es ist ${}0,1\in K$.
   2. Mit ${}a,b\in K$ ist auch ${}a+b\in K$.
   3. Mit ${}a,b\in K$ ist auch ${}a\cdot b\in K$.
   4. Mit ${}a\in K$ ist auch ${}-a\in K$.
   5. Mit ${}a\in K,a\neq 0$, ist auch ${}a^{-1}\in K$.

Zur gelösten Aufgabe