Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung und ${}M$ die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist ${}\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn

   ${}{M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$

   ist.
2. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

   $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}$

   seien alle von ${}0$ verschieden für ${}k=1,\ldots ,n$. Es sei ${}q$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

   $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

   Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ

   ${}(n-q,q)$.
3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist asymptotisch stabil.
   2. Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0\in V$.
   3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, gegen ${}0$ konvergiert.
   4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner als ${}1$.