Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt/Beweis1

Beweis

Aufgrund von Fakt ist die Matrix ${}M$ trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass

${}N=BMB^{-1}\,$

obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem ${}w'=Nw$ besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Fakt äquivalent zum ursprünglichen System. Das System in oberer Dreiecksgestalt löst man wie in Fakt beschrieben. Eine Anfangsbedingung für ${}v'=Mv$ übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für ${}w'=Nw$. In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils nach Fakt eindeutig sind.

Zur bewiesenen Aussage