Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt/Beweis1

Beweis

Aufgrund von Fakt ist die Matrix $M$ trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix  $B\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(ℂ)$  derart, dass

$N=BM{B}^{-1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem  $w^{\prime }=Nw$  besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Fakt äquivalent zum ursprünglichen System. Das System in oberer Dreiecksgestalt löst man wie in Fakt beschrieben. Eine Anfangsbedingung für  $v^{\prime }=Mv$  übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für  $w^{\prime }=Nw$.  In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils nach Fakt eindeutig sind.

Zur bewiesenen Aussage