Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ eine Matrix über einem Körper ${}K$. Es seien ${}c={\left(c_{1},\ldots ,c_{m}\right)}$ und ${}d={\left(d_{1},\ldots ,d_{m}\right)}$ zwei ${}m$-Tupel und es sei ${}y={\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}\in K^{n}$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems

${}Mx=c\,$

und ${}z={\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}\in K^{n}$ eine Lösung des Systems

${}Mx=d\,.$

Dann ist ${}y+z={\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des Systems

${}Mx=c+d\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ und es sei

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn ${}{\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und ${}{\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ eine Lösung des homogenen Systems ist,

so ist ${}{\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$

Dies bedeutet insbesondere, dass wenn ${}L$ der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems ist und wenn ${}y$ eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist, dass dann die Abbildung

$L\longrightarrow L',\,z\longmapsto y+z,$

eine Bijektion zwischen ${}L$ und der Lösungsmenge ${}L'$ der inhomogenen Gleichungssystems ist.