Es sei
M
=
(
a
i
j
)
1
≤
i
≤
m
,
1
≤
j
≤
n
{\displaystyle {}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}}
eine Matrix über einem Körper
K
{\displaystyle {}K}
. Es seien
c
=
(
c
1
,
…
,
c
n
)
{\displaystyle {}c={\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)}}
und
d
=
(
d
1
,
…
,
d
n
)
{\displaystyle {}d={\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)}}
zwei
n
{\displaystyle {}n}
-Tupel und es sei
y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∈
K
n
{\displaystyle {}y={\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}\in K^{n}}
eine Lösung des
linearen Gleichungssystems
M
x
=
c
{\displaystyle {}Mx=c\,}
und
z
=
(
z
1
,
…
,
z
n
)
∈
K
n
{\displaystyle {}z={\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}\in K^{n}}
eine Lösung des Systems
M
x
=
d
.
{\displaystyle {}Mx=d\,.}
Dann ist
y
+
z
=
(
y
1
+
z
1
,
…
,
y
n
+
z
n
)
{\displaystyle {}y+z={\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}}
eine Lösung des Systems
M
x
=
c
+
d
.
{\displaystyle Mx=c+d.}
Beweis
Siehe
Aufgabe .
◻
{\displaystyle \Box }
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein
Körper und
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
c
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
c
2
⋮
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
c
m
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}}
ein
inhomogenes lineares Gleichungssystem über
K
{\displaystyle {}K}
und es sei
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
0
⋮
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}}
das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn
(
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle {}{\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}}
eine Lösung des inhomogenen Systems und
(
z
1
,
…
,
z
n
)
{\displaystyle {}{\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}}
eine Lösung des homogenen Systems ist,
so ist
(
y
1
+
z
1
,
…
,
y
n
+
z
n
)
{\displaystyle {}{\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}}
eine Lösung des inhomogenen Systems.
Dies folgt unmittelbar aus
Fakt .
◻
{\displaystyle \Box }
Dies bedeutet insbesondere, dass wenn
L
{\displaystyle {}L}
der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems ist und wenn
y
{\displaystyle {}y}
eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist, dass dann die Abbildung
L
⟶
L
′
,
z
⟼
y
+
z
,
{\displaystyle L\longrightarrow L',\,z\longmapsto y+z,}
eine Bijektion zwischen
L
{\displaystyle {}L}
und der Lösungsmenge
L
′
{\displaystyle {}L'}
der inhomogenen Gleichungssystems ist.